発散計算機

発散計算機

この発散計算機は、2Dまたは3Dのベクトル場の発散 ∇·F を計算し、詳細な偏微分の計算過程をステップごとに表示します。ベクトル場の成分 P、Q（3Dの場合は R も）を入力し、必要に応じて特定の評価点を指定すると、記号的な発散、湧き出し/吸い込みの分類を取得できます。2D場の場合は、発散ヒートマップと粒子の流れをアニメーション化したインタラクティブな可視化も提供されます。

発散とは何か？

ベクトル場 \(\mathbf{F}\) の発散（Divergence）は、ある点から場がどの程度の割合で「広がっているか」を測定するスカラー値の演算子です。3Dベクトル場 \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\) の場合：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

2D場 \(\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\) の場合、発散は \(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\) となります。発散はベクトル解析、流体力学、電磁気学、および微分方程式における基本的な概念です。

発散の物理的な意味

発散の公式と座標系

発散に関する重要な恒等式

発散の応用

発散計算機の使い方

1. 次元を選択する: 切替ボタンを使用して、F = ⟨P, Q⟩ の2D、または F = ⟨P, Q, R⟩ の3Dを選択します。
2. 成分関数を入力する: 標準的な記法を使用して、各成分関数（P, Q、および必要に応じて R）を入力します。指数には ^、乗算には * を使用し、sin(x)、cos(y)、exp(x)、ln(x)、sqrt(x) などの関数が使えます。2x（2*x）のような暗黙の乗算もサポートされています。
3. 評価点を入力する (任意): カンマ区切りの座標を入力すると、その点での発散を数値的に計算し、湧き出し、吸い込み、または非圧縮性に分類します。
4. 「発散 ∇·F を計算」をクリック: 記号的な発散公式、ステップごとの偏微分計算、数値評価、および分類結果が表示されます。
5. 可視化を確認する: 2D場の場合、ベクトル場の矢印、色分けされた発散ヒートマップ（赤 = 湧き出し、青 = 吸い込み）、および場の挙動を示す粒子アニメーションを確認できます。

計算例

点 \((1, 1)\) におけるベクトル場 \(\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle\) の発散を求めます。

ステップ 1: 成分を特定する: \(P = x\)、\(Q = y\)。

ステップ 2: 偏導関数を計算する: \(\frac{\partial P}{\partial x} = 1\)、\(\frac{\partial Q}{\partial y} = 1\)。

ステップ 3: それらを合計する: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2\)。

解釈: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0\) であるため、すべての点が湧き出しとなります。この場は一様に外側へ広がっています。平面上のあらゆる場所から流体が汲み出されている様子をイメージしてください。

よくある質問 (FAQ)