回転カール電卓

回転カール電卓

回転カール計算機は、ステップごとの外積行列式展開を伴い、任意の2Dまたは3Dベクトル場のカール ∇×F を計算します。ベクトル場の成分 P、Q（および3Dの場合は R）を入力し、必要に応じて評価点を指定すると、記号的なカール、回転の分類を取得できます。2D場については、渦度ヒートマップと場の回転挙動を示すアニメーションパーティクルフローによるインタラクティブな可視化も提供されます。

カール（回転）とは何ですか？

ベクトル場 \(\mathbf{F}\) のカール（回転）は、各点における場の微小な回転を測定します。3D場 \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\) の場合、カールは外積として計算されます。

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

行列式を展開すると、次のカールベクトルが得られます。

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

2D場 \(\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\) の場合、カールはスカラー \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) に簡略化され、xy平面における回転を表します。

カールの物理的意味

異なる座標系におけるカールの公式

カールに関する重要な恒等式

カールの応用

回転カール計算機の使い方

1. 次元を選択する: 切り替えボタンを使用して、場 F = ⟨P, Q⟩ (スカラーカール) の 2D または F = ⟨P, Q, R⟩ (ベクトルカール) の 3D を選択します。
2. 成分関数を入力する: 標準的な記法を使用して、各成分関数（P、Q、およびオプションで R）を入力します。指数には ^、乗算には * を使用し、sin(x)、cos(y)、exp(x)、ln(x)、sqrt(x) などの関数を使用できます。暗黙の乗算（例：2x = 2*x）もサポートされています。
3. 評価点を入力する (オプション): カールを数値的に評価し、回転方向を分類するために、カンマで区切った座標を入力します。
4. カールの計算をクリック: 記号的なカール、ステップごとの外積行列式展開、数値評価、および回転の分類を表示します。
5. 可視化を確認する: 2D場については、ベクトル場の矢印とともに、渦度ヒートマップ（オレンジ = 反時計回り、紫 = 時計回り）とアニメーションパーティクルフローを表示します。

計算例

点 \((1, 2, 3)\) における \(\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle\) のカールを求めます。

ステップ 1: 行列式を書きます。 \(\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}\)

ステップ 2: 展開します。 \(\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle\)

ステップ 3: カールは恒等的にゼロです。つまり、この場は非回転的（保存的）です。実際、\(\mathbf{F} = \nabla(xyz)\) であり、ポテンシャル関数が存在することが確認できます。

カール vs. 発散

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