Kalkulator Permutasi

Tentang Kalkulator Permutasi

Selamat datang di Kalkulator Permutasi, alat komprehensif untuk menghitung permutasi P(n,r) dengan solusi langkah demi langkah, contoh visual, dan penjelasan edukatif. Baik Anda sedang mempelajari kombinatorika, menyelesaikan masalah probabilitas, atau mengerjakan masalah pengaturan di dunia nyata, kalkulator ini memberikan hasil instan dengan rincian rumus yang mendetail.

Apa itu Permutasi?

Permutasi adalah penyusunan objek-objek dalam urutan yang spesifik. Berbeda dengan kombinasi (di mana urutan tidak menjadi masalah), permutasi menganggap urutan atau susunan item sebagai hal yang penting. Jumlah permutasi memberi tahu kita berapa banyak cara berbeda kita dapat menyusun r item yang dipilih dari sekumpulan n item yang berbeda.

Misalnya, jika Anda memiliki 3 buku (A, B, C) dan ingin menyusun 2 di antaranya di rak, permutasinya adalah: AB, BA, AC, CA, BC, CB. Itu adalah 6 pengaturan yang berbeda, karena AB dan BA dianggap berbeda (urutan penting).

Rumus Permutasi

Di mana:

• n = jumlah total item berbeda yang tersedia
• r = jumlah item yang akan dipilih dan disusun
• n! = n faktorial = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Rumus Permutasi yang Disederhanakan

Rumus ini juga dapat ditulis sebagai hasil kali r bilangan bulat berurutan:

Permutasi vs Kombinasi

Perbedaan utama antara permutasi dan kombinasi adalah apakah urutan penting atau tidak:

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan n (total item): Masukkan jumlah total item berbeda yang Anda miliki.
2. Masukkan r (item yang akan disusun): Masukkan berapa banyak item yang ingin Anda pilih dan susun. Angka ini harus kurang dari atau sama dengan n.
3. Klik Hitung: Tekan tombol untuk menghitung P(n,r) dengan solusi langkah demi langkah.
4. Tinjau hasil: Lihat total permutasi, perbandingan dengan kombinasi, contoh visual, dan langkah-langkah perhitungan mendetail.

Contoh Permutasi di Dunia Nyata

Peringkat dan Kompetisi

Dalam perlombaan dengan 10 pelari, berapa banyak cara juara 1, 2, dan 3 dapat diberikan?

P(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 pengaturan podium yang berbeda

Pembuatan Kata Sandi

Berapa banyak kata sandi 4 huruf yang dapat dibuat dari 26 huruf (tanpa pengulangan)?

P(26, 4) = 26 × 25 × 24 × 23 = 358.800 kata sandi unik

Pengaturan Tempat Duduk

Berapa banyak cara 5 orang dapat duduk di 5 kursi?

P(5, 5) = 5! = 120 pengaturan tempat duduk yang berbeda

Penjadwalan Tugas

Jika Anda memiliki 8 tugas dan perlu menjadwalkan 4 di antaranya secara berurutan, berapa banyak jadwal yang mungkin?

P(8, 4) = 8 × 7 × 6 × 5 = 1.680 jadwal yang berbeda

Kasus Khusus Permutasi

P(n, n) = n!

Ketika r sama dengan n, Anda menyusun semua item. P(n, n) = n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n!

P(n, 0) = 1

Tepat ada satu cara untuk menyusun nol item: tidak melakukan apa pun.

P(n, 1) = n

Memilih dan menyusun 1 item dari n memberikan n kemungkinan.

Nilai Permutasi Umum

Permutasi dengan Pengulangan

Kalkulator ini menangani permutasi tanpa pengulangan (setiap item hanya dapat digunakan sekali). Untuk permutasi dengan pengulangan (di mana item dapat digunakan kembali), rumusnya sederhana yaitu n^r.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu permutasi?

Permutasi adalah penyusunan objek-objek dalam urutan yang spesifik. Berbeda dengan kombinasi, permutasi menganggap urutan item sebagai hal yang penting. Misalnya, menyusun 3 buku di rak di mana urutan sangat berpengaruh adalah masalah permutasi. Rumusnya adalah P(n,r) = n!/(n-r)!, di mana n adalah total item dan r adalah item yang akan disusun.

Apa perbedaan antara permutasi dan kombinasi?

Perbedaan utamanya adalah permutasi memperhatikan urutan sementara kombinasi tidak. P(n,r) = n!/(n-r)! menghitung pengaturan yang berurutan, sedangkan C(n,r) = n!/[r!(n-r)!] menghitung pemilihan yang tidak berurutan. Misalnya, memilih presiden, wakil presiden, dan sekretaris dari 10 orang adalah permutasi (urutan penting), sementara memilih 3 anggota komite adalah kombinasi (urutan tidak penting).

Bagaimana cara menghitung P(n,r)?

Untuk menghitung P(n,r): 1) Identifikasi n (total item) dan r (item yang akan disusun). 2) Gunakan rumus P(n,r) = n!/(n-r)!. 3) Ini disederhanakan menjadi n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1), yang merupakan hasil kali r angka berurutan dimulai dari n. Contohnya, P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60.

Berapakah hasil dari P(n,n)?

P(n,n) = n!, yang merupakan jumlah cara untuk menyusun seluruh n item. Ketika r sama dengan n, rumus P(n,r) = n!/(n-r)! menjadi n!/0! = n!/1 = n!. Contohnya, P(4,4) = 4! = 24, yang berarti ada 24 cara untuk menyusun 4 item berbeda.

Apa saja contoh permutasi di dunia nyata?

Contoh permutasi umum meliputi: menyusun buku di rak, menentukan urutan finis balapan, membuat kata sandi atau kode PIN, menjadwalkan tugas dalam urutan tertentu, pengaturan tempat duduk di meja makan, peringkat kontestan dalam kompetisi, dan kombinasi nomor telepon. Skenario apa pun di mana urutan atau pengaturan item itu penting menggunakan permutasi.

Mengapa rumus permutasi menggunakan faktorial?

Faktorial muncul dalam rumus permutasi karena mereka menghitung semua pengaturan yang mungkin. Untuk n item: posisi 1 memiliki n pilihan, posisi 2 memiliki (n-1) pilihan, dan seterusnya. Hasil kali n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 = n!. Saat hanya memilih r posisi, kita membagi dengan (n-r)! untuk menghilangkan pengaturan posisi yang tidak kita gunakan.

Sumber Daya Tambahan

• Permutasi - Wikipedia
• Kombinatorika - Wikipedia

Alat terkait lainnya:

Combinatorics: