Kalkulator Konjektur Collatz

Selamat datang di Kalkulator Konjektur Collatz, alat interaktif untuk menjelajahi salah satu masalah matematika yang paling menarik dan belum terpecahkan. Masukkan bilangan bulat positif apa pun dan saksikan bagaimana urutan hailstone terbentang melalui serangkaian aturan sederhana hingga akhirnya mencapai putaran 4 → 2 → 1. Grafik lintasan interaktif, rincian langkah-demi-langkah, dan statistik komprehensif akan membantu Anda memvisualisasikan dan memahami perilaku mengejutkan dari urutan Collatz.

Apa itu Konjektur Collatz?

Konjektur Collatz, juga dikenal sebagai masalah 3n+1, masalah Syracuse, atau masalah hailstone, adalah salah satu masalah paling terkenal yang belum terpecahkan dalam matematika. Masalah ini pertama kali diusulkan oleh matematikawan Jerman Lothar Collatz pada tahun 1937.

Konjektur ini menyatakan: Mulailah dengan bilangan bulat positif n apa pun. Jika n genap, bagi dengan 2. Jika n ganjil, kalikan dengan 3 dan tambah 1. Ulangi proses ini. Konjektur tersebut menegaskan bahwa apa pun angka awal yang Anda pilih, urutan tersebut akan selalu mencapai 1.

Aturan Collatz

Mulai dari bilangan bulat positif apa pun \(n\), penerapan \(f\) secara berulang menghasilkan urutan yang disebut urutan hailstone (atau urutan Collatz). Konjektur ini mengklaim bahwa urutan tersebut selalu mencapai 1, setelah itu ia memasuki siklus 1 → 4 → 2 → 1.

Mengapa Disebut Urutan Hailstone?

Urutan ini disebut urutan hailstone (hujan es) karena nilainya naik dan turun secara tidak menentu, seperti batu es yang tertiup ke atas dan ke bawah di dalam awan badai sebelum akhirnya jatuh ke tanah. Ketika angka ganjil dikalikan tiga dan ditambah satu, nilainya melonjak naik; ketika angka genap dibagi dua, nilainya turun kembali. Akhirnya, "batu es" tersebut mencapai tanah — angka 1.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan angka awal: Ketik bilangan bulat positif apa pun ke dalam kolom input. Cobalah contoh cepat untuk nilai awal yang terkenal seperti 27 atau 871.
2. Hasilkan urutan: Klik "Hasilkan Urutan" untuk menghitung urutan hailstone lengkap.
3. Jelajahi lintasan: Grafik interaktif menunjukkan nilai pada setiap langkah. Beralih antara skala linear dan log untuk visualisasi puncak ekstrem yang lebih baik.
4. Tinjau statistik: Periksa waktu henti, nilai puncak, rasio pertumbuhan, dan jumlah langkah genap/ganjil.
5. Pelajari langkah-demi-langkah: Tabel mendetail menunjukkan setiap operasi yang diterapkan pada setiap langkah, dengan kode warna untuk langkah genap (n/2) dan ganjil (3n+1).

Memahami Hasil

Statistik Kunci

• Waktu Henti: Jumlah total langkah untuk mencapai 1. Juga disebut total waktu henti.
• Nilai Puncak: Angka tertinggi yang dicapai selama urutan tersebut. Bisa sangat besar bahkan untuk nilai awal yang kecil.
• Rasio Pertumbuhan: Rasio nilai puncak terhadap nilai awal. Menunjukkan seberapa banyak urutan itu "tumbuh" sebelum turun.
• Langkah Genap: Berapa kali n/2 diterapkan (nilai yang genap).
• Langkah Ganjil: Berapa kali 3n+1 diterapkan (nilai yang ganjil).

Grafik Lintasan Urutan

Grafik interaktif memvisualisasikan urutan hailstone dengan tiga titik yang disorot:

• Titik hijau — Nilai awal
• Titik merah — Nilai puncak (titik tertinggi)
• Titik emas — Nilai akhir (1)

Untuk urutan dengan puncak yang sangat besar, beralihlah ke skala log untuk melihat bentuk keseluruhannya dengan lebih jelas.

Contoh Terkenal

Angka 27

Angka 27 mungkin merupakan nilai awal yang paling terkenal dalam penelitian konjektur Collatz. Meskipun merupakan angka kecil, ia menghasilkan urutan 111 langkah dan mencapai puncak 9.232 — lebih dari 341 kali nilai awalnya. Perilaku dramatis ini menjadikannya contoh klasik dari ketidakterdugaan konjektur ini.

Pemegang Rekor Urutan Terpanjang

Properti Matematika

Rasio Langkah Genap vs. Ganjil

Dalam urutan Collatz yang khas, langkah genap (n/2) secara signifikan lebih banyak daripada langkah ganjil (3n+1). Ini karena setiap langkah ganjil menghasilkan angka genap (3n+1 selalu genap jika n ganjil), yang kemudian langsung dibagi dua. Rata-rata, rasio langkah genap terhadap ganjil adalah sekitar 2:1, yang merupakan salah satu argumen heuristik mengapa urutan cenderung menurun secara keseluruhan.

Siklus 4-2-1

Setiap urutan Collatz yang mencapai 1 kemudian memasuki siklus: 1 → 4 → 2 → 1. Konjektur tersebut dapat dinyatakan secara ekuivalen sebagai: "Tidak ada siklus lain," yang berarti tidak ada angka awal yang memasuki siklus yang tidak menyertakan 1, dan tidak ada urutan yang menyimpang ke tak terhingga.

Verifikasi Komputasi

Konjektur Collatz telah diverifikasi secara komputasi untuk semua nilai awal hingga sekitar \(2,95 \times 10^{20}\) (per tahun 2020). Meskipun ini adalah bukti yang kuat, ini bukan merupakan bukti matematis formal.

Sejarah dan Penelitian Terkemuka

• 1937: Lothar Collatz pertama kali mengajukan konjektur tersebut saat belajar di Universitas Hamburg.
• 1970-an: Masalah ini mendapat perhatian luas di komunitas matematika dan memperoleh banyak nama (Syracuse, Ulam, Kakutani).
• 1985: Jeffrey Lagarias menerbitkan survei komprehensif dan menunjukkan hubungan dengan teori bilangan dan sistem dinamis.
• 2019: Terence Tao membuktikan bahwa "hampir semua" orbit Collatz mencapai nilai yang hampir terbatas, hasil parsial terkuat terhadap konjektur tersebut hingga saat ini.

Paul Erdős pernah berkata tentang konjektur Collatz: "Matematika mungkin belum siap untuk masalah seperti ini."

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu konjektur Collatz?

Konjektur Collatz (juga dikenal sebagai masalah 3n+1) menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif, jika Anda berulang kali menerapkan aturan "jika genap, bagi dengan 2; jika ganjil, kalikan dengan 3 dan tambah 1", urutan tersebut akan selalu mencapai 1. Terlepas dari aturannya yang sederhana, konjektur ini tetap belum terbukti sejak Lothar Collatz pertama kali mengusulkannya pada tahun 1937.

Apa itu urutan hailstone?

Urutan hailstone (juga disebut urutan Collatz) adalah rangkaian angka yang dihasilkan dengan menerapkan aturan Collatz berulang kali pada angka awal hingga mencapai 1. Disebut urutan "hailstone" karena nilainya naik dan turun seperti batu es di awan sebelum akhirnya jatuh ke tanah (mencapai 1).

Apa yang dimaksud dengan waktu henti dalam konjektur Collatz?

Waktu henti (atau total waktu henti) adalah jumlah langkah yang diperlukan bagi angka awal untuk mencapai 1 dalam urutan Collatz-nya. Misalnya, mulai dari 27, waktu hentinya adalah 111 langkah. Waktu henti sangat bervariasi di antara angka awal yang berbeda dan tidak mengikuti pola yang sederhana.

Why is 27 a famous number in the Collatz conjecture?

Angka 27 terkenal dalam penelitian konjektur Collatz karena meskipun relatif kecil, ia menghasilkan urutan yang sangat panjang yaitu 111 langkah dan mencapai nilai puncak 9.232 — lebih dari 341 kali nilai awalnya. Hal ini menjadikannya contoh klasik betapa tidak terprediksinya urutan Collatz.

Apakah konjektur Collatz sudah terbukti?

Tidak, konjektur Collatz belum terbukti hingga tahun 2024. Ini telah diverifikasi secara komputasi untuk semua nilai awal hingga sekitar \(2,95 \times 10^{20}\), tetapi bukti matematis umum masih sulit ditemukan. Pada tahun 2019, Terence Tao membuktikan bahwa konjektur tersebut benar untuk "hampir semua" angka dalam pengertian teori ukuran.

Apa urutan Collatz terpanjang untuk angka kecil?

Di antara angka di bawah 1.000, angka 871 memiliki urutan Collatz terpanjang dengan 178 langkah. Di bawah 10.000 adalah 6.171 dengan 261 langkah. Di bawah 100.000 adalah 77.031 dengan 350 langkah. Di bawah 1.000.000, pemegang rekornya adalah 837.799 dengan 524 langkah.

Sumber Daya Tambahan

• Konjektur Collatz - Wikipedia
• Urutan Hailstone - Wikipedia (Inggris)