¿Qué es un inverso multiplicativo modular?

El inverso multiplicativo modular de un entero a módulo m es un entero x tal que a·x ≡ 1 (mod m). Se denota como a⁻¹ (mod m) y existe si y solo si mcd(a, m) = 1 (a y m son coprimos).

¿Cómo se calcula el inverso modular?

El método más eficiente es el Algoritmo de Euclides Extendido, que encuentra enteros x e y tales que ax + my = mcd(a, m). Cuando mcd(a, m) = 1, x es el inverso modular. Alternativamente, si m es primo, el Pequeño Teorema de Fermat da a⁻¹ ≡ a^(m-2) (mod m).

¿Cuándo NO existe el inverso modular?

El inverso modular de a (mod m) no existe cuando mcd(a, m) > 1. Por ejemplo, el inverso de 6 (mod 9) no existe porque mcd(6, 9) = 3 ≠ 1.

¿Cuáles son los usos prácticos del inverso modular?

El inverso modular es fundamental para el cifrado RSA, el intercambio de claves Diffie-Hellman, la criptografía de curva elíptica, la resolución de congruencias lineales, los cálculos del Teorema del Resto Chino y el cálculo de fracciones modulares.

Calculadora del Inverso Multiplicativo Modular

Calcule el inverso multiplicativo modular de un número entero a bajo el módulo m utilizando el Algoritmo de Euclides Extendido, con tabla paso a paso, verificación y visualización de reloj.

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Calculadora del Inverso Multiplicativo Modular

¿Qué es el Inverso Multiplicativo Modular?

El inverso multiplicativo modular de un entero a respecto al módulo m es un entero x en el rango [0, m-1] tal que:

\( a \cdot x \equiv 1 \pmod{m} \)

Se escribe como a⁻¹ (mod m) y es análogo al inverso multiplicativo en la aritmética ordinaria (es decir, 1/a), pero en el mundo de la aritmética modular.

Condición clave: El inverso existe si y solo si mcd(a, m) = 1 — es decir, a y m deben ser coprimos.

Cómo se calcula: Algoritmo de Euclides Extendido

El método más eficiente utiliza el Algoritmo de Euclides Extendido. Encuentra enteros x e y que satisfacen la identidad de Bézout:

\( a \cdot x + m \cdot y = \gcd(a, m) = 1 \)

Cuando mcd(a, m) = 1, al tomar ambos lados mod m obtenemos a·x ≡ 1 (mod m), por lo que x es el inverso modular.

Ejemplo: Hallar 3⁻¹ (mod 7):

El MCD extendido da: 3·(5) + 7·(-2) = 15 − 14 = 1, por lo tanto 3⁻¹ ≡ 5 (mod 7). Verificación: 3 × 5 = 15 = 2×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓

Aplicaciones en Criptografía y Matemáticas

🔐

Cifrado RSA

Cálculo de la clave privada d = e⁻¹ (mod φ(n)) a partir del exponente público e

📈

Diffie-Hellman

Protocolo de intercambio de claves basado en logaritmos discretos en aritmética modular

🇮

Cifrado Afín

El descifrado utiliza a⁻¹ (mod 26) para revertir la clave de cifrado

🔢

CRT y Teoría de Números

Teorema del Resto Chino y resolución de congruencias lineales ax ≡ b (mod m)

👑

Curvas Elípticas

Las fórmulas de suma de puntos en ECC requieren inversos modulares para el cálculo de la pendiente

📋

Fracciones Modulares

Cálculo de a/b (mod m) como a · b⁻¹ (mod m) cuando mcd(b, m) = 1

Preguntas Frecuentes

P: ¿Por qué el inverso no siempre existe?

Debido a que la aritmética modular "da la vuelta", algunos múltiplos de a pueden no caer nunca en 1 mod m. Esto sucede exactamente cuando a y m comparten un factor común, es decir, mcd(a, m) > 1.

P: ¿Existe una fórmula para el módulo primo?

¡Sí! Si m es primo y a no es múltiplo de m, el Pequeño Teorema de Fermat establece: a⁻¹ ≡ a^m-2 (mod m). Esto se usa frecuentemente en programación competitiva.

P: ¿Es el resultado único?

Sí, el resultado es único módulo m. Siempre informamos el resultado canónico en el rango [0, m-1]. Otros inversos válidos son x + km para cualquier entero k, pero todos son equivalentes mod m.

P: ¿Qué pasa si a es negativo?

El algoritmo maneja enteros negativos. Internamente calculamos a (mod m) para obtener primero un representante no negativo y luego hallamos su inverso. El resultado siempre está en [0, m-1].

Cite este contenido, página o herramienta como:

"Calculadora del Inverso Multiplicativo Modular" en https://MiniWebtool.com/es// de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

por el equipo de miniwebtool. Actualizado: 18 de febrero de 2026

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¿Qué es el Inverso Multiplicativo Modular?

Cómo se calcula: Algoritmo de Euclides Extendido

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