Primitivwurzel-Rechner

Willkommen beim Primitivwurzel-Rechner, einem leistungsstarken kostenlosen Online-Tool, das alle Primitivwurzeln modulo einer beliebigen positiven Ganzzahl n findet. Dieser Rechner bietet eine Schritt-für-Schritt-Verifizierung, Potenztabellen und eine animierte Visualisierung der zyklischen Gruppe, um Ihnen zu helfen, zu verstehen, wie Primitivwurzeln multiplikative Gruppen erzeugen. Ob Sie Zahlentheorie studieren, sich auf Kryptographie-Prüfungen vorbereiten oder mit modularer Arithmetik in der kompetitiven Programmierung arbeiten – dieses Tool liefert sofortige, genaue Ergebnisse mit pädagogischem Mehrwert.

Was ist eine Primitivwurzel?

Eine Primitivwurzel modulo n ist eine Ganzzahl g, deren Potenzen alle Ganzzahlen erzeugen, die teilerfremd zu n sind. Formal ausgedrückt ist g eine Primitivwurzel mod n, wenn die multiplikative Ordnung von g modulo n gleich der Eulerschen Phi-Funktion \(\varphi(n)\) ist. Dies bedeutet, dass die Menge

genau alle \(\varphi(n)\) Ganzzahlen von 1 bis n-1 enthält, die teilerfremd zu n sind. Eine Primitivwurzel ist im Wesentlichen ein Generator der zyklischen Gruppe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*\).

Kurzes Beispiel

Betrachten wir n = 7. Da 7 prim ist, gilt \(\varphi(7) = 6\). Überprüfen wir, ob g = 3 eine Primitivwurzel ist:

• 3¹ mod 7 = 3
• 3² mod 7 = 2
• 3³ mod 7 = 6
• 3⁴ mod 7 = 4
• 3⁵ mod 7 = 5
• 3⁶ mod 7 = 1

Die Potenzen ergeben {3, 2, 6, 4, 5, 1} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, was alle zu 7 teilerfremden Ganzzahlen sind. Daher ist 3 eine Primitivwurzel modulo 7.

Wann existieren Primitivwurzeln?

Primitivwurzeln modulo n existieren genau dann, wenn n eine der folgenden Formen hat:

• n = 1, 2 oder 4
• n = p^k, wobei p eine ungerade Primzahl und k ≥ 1 ist
• n = 2p^k, wobei p eine ungerade Primzahl und k ≥ 1 ist

Zum Beispiel existieren Primitivwurzeln für 7, 9, 11, 13, 14, 18, 23, 25, 27, 46, aber nicht für 8, 12, 15, 16, 20, 21, 24.

Wie man Primitivwurzeln findet

1. Geben Sie den Modulus ein: Tippen Sie eine positive Ganzzahl n (von 2 bis 100.000) in das Eingabefeld.
2. Berechnen: Klicken Sie auf "Primitivwurzeln finden" oder drücken Sie die Eingabetaste.
3. Alle Wurzeln ansehen: Sehen Sie die vollständige Liste der Primitivwurzeln sowie die Eulersche Phi-Funktion und Statistiken.
4. Potenztabelle studieren: Untersuchen Sie, wie die kleinste Primitivwurzel alle teilerfremden Reste erzeugt.
5. Zyklische Gruppe visualisieren: Bei kleinen Moduli sehen Sie ein animiertes Rad, das die zyklische Struktur zeigt.

Wie viele Primitivwurzeln hat n?

Falls Primitivwurzeln modulo n existieren, entspricht die Anzahl:

Zum Beispiel für n = 13: \(\varphi(13) = 12\) und \(\varphi(12) = 4\), es gibt also genau 4 Primitivwurzeln modulo 13 (nämlich 2, 6, 7, 11).

Der Verifizierungs-Algorithmus

Um effizient zu prüfen, ob g eine Primitivwurzel modulo n ist:

1. Berechnen Sie \(\varphi(n)\) mithilfe der Primfaktorzerlegung von n
2. Finden Sie alle verschiedenen Primfaktoren \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) von \(\varphi(n)\)
3. Prüfen Sie für jeden Primfaktor \(p_i\): \(g^{\varphi(n)/p_i} \not\equiv 1 \pmod{n}\)
4. Wenn ALLE Prüfungen erfolgreich sind, ist g eine Primitivwurzel

Diese Methode ist wesentlich schneller als die Berechnung aller Potenzen von g, da wir nur \(k\) Exponentiationen anstelle von \(\varphi(n)\) testen müssen.

Primitivwurzeln in der Kryptographie

Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch

Das Diffie-Hellman-Protokoll nutzt eine große Primzahl p und eine Primitivwurzel g modulo p. Alice wählt ein Geheimnis a und sendet \(g^a \bmod p\). Bob wählt ein Geheimnis b und sendet \(g^b \bmod p\). Beide berechnen das gemeinsame Geheimnis \(g^{ab} \bmod p\). Die Sicherheit basiert darauf, dass das diskrete Logarithmusproblem rechnerisch schwer zu lösen ist.

ElGamal-Verschlüsselung

ElGamal nutzt ebenfalls eine Primitivwurzel als Generator. Der öffentliche Schlüssel ist \((p, g, g^x \bmod p)\), wobei x privat ist. Dass g alle Elemente erzeugt, stellt sicher, dass jede Nachricht verschlüsselt werden kann.

Digitale Signaturen

DSA (Digital Signature Algorithm) und verwandte Verfahren verwenden Primitivwurzeln in Untergruppen von \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\), um digitale Signaturen zu erstellen und zu verifizieren.

Referenztabelle: Kleinste Primitivwurzeln

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine Primitivwurzel modulo n?

Eine Primitivwurzel modulo n ist eine Ganzzahl g, so dass die Potenzen \(g^1, g^2, \ldots, g^{\varphi(n)}\) alle zu n teilerfremden Ganzzahlen ergeben, wenn sie modulo n genommen werden. Mit anderen Worten erzeugt g die gesamte multiplikative Gruppe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*\). Die multiplikative Ordnung von g modulo n entspricht der Eulerschen Phi-Funktion \(\varphi(n)\).

Für welche Werte von n existieren Primitivwurzeln?

Primitivwurzeln existieren modulo n genau dann, wenn n gleich 1, 2, 4, p^k oder 2p^k ist, wobei p eine ungerade Primzahl und k ≥ 1 ist. Zum Beispiel existieren Primitivwurzeln für n = 7 (Primzahl), n = 9 (3²), n = 14 (2×7), aber NICHT für n = 8, 12, 15 oder 16.

Wie viele Primitivwurzeln hat n?

Wenn Primitivwurzeln modulo n existieren, ist die Anzahl gleich \(\varphi(\varphi(n))\), wobei \(\varphi\) die Eulersche Phi-Funktion ist. Zum Beispiel für n = 13 (Primzahl): \(\varphi(13) = 12\) und \(\varphi(12) = 4\), es gibt also genau 4 Primitivwurzeln modulo 13.

Warum sind Primitivwurzeln in der Kryptographie wichtig?

Primitivwurzeln sind grundlegend für das Diffie-Hellman-Schlüsselaustauschprotokoll und das ElGamal-Verschlüsselungssystem. In diesen kryptographischen Protokollen wird eine Primitivwurzel g modulo einer großen Primzahl p als Generator verwendet. Die Sicherheit beruht auf der Schwierigkeit des diskreten Logarithmusproblems: Gegeben \(g^x \bmod p\) ist es rechnerisch extrem schwierig, x zu finden.

Wie prüft man, ob g eine Primitivwurzel modulo n ist?

Um zu prüfen, ob g eine Primitivwurzel mod n ist: (1) Berechnen Sie \(\varphi(n)\). (2) Finden Sie alle Primfaktoren \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) von \(\varphi(n)\). (3) Prüfen Sie für jeden Primfaktor \(p_i\), ob \(g^{\varphi(n)/p_i} \not\equiv 1 \pmod{n}\). Falls alle Tests bestanden werden, ist g eine Primitivwurzel. Dies ist viel schneller, als alle Potenzen von g zu berechnen.

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