Arkustangens-Rechner

Arkustangens-Rechner

Willkommen beim Arkustangens-Rechner, einem leistungsstarken Werkzeug zur Berechnung des Arkustangens (arctan oder tan^-1) jeder reellen Zahl. Egal, ob Sie Trigonometrie studieren, an technischen Berechnungen arbeiten oder präzise Winkelmessungen benötigen – dieser Rechner liefert genaue Ergebnisse mit einer Präzision von bis zu 1000 Nachkommastellen, interaktiven Visualisierungen und Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

Was ist der Arkustangens (inverser Tangens)?

Der Arkustangens, geschrieben als arctan(x) oder tan^-1(x), ist die Umkehrfunktion des Tangens. Für einen gegebenen Wert x liefert die Arkustangens-Funktion den Winkel θ, dessen Tangens gleich x ist. In mathematischer Notation:

Die Arkustangens-Funktion beantwortet die Frage: „Welcher Winkel hat diesen Tangenswert?“ Da zum Beispiel tan(45°) = 1 ist, wissen wir, dass arctan(1) = 45° (oder π/4 Radiant) ist.

Hauptwertbereich

Die Arkustangens-Funktion liefert den Hauptwert, welcher der eindeutige Winkel im offenen Intervall ist:

• Radiant: $(-rac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
• Grad: (-90°, 90°)

Dieser Bereich stellt sicher, dass arctan für jede Eingabe genau einen Ausgabewert liefert. Die Tangensfunktion wiederholt sich alle π Radiant (180°). Ohne Einschränkung des Bereichs gäbe es unendlich viele gültige Antworten.

Arkustangens-Formel und Eigenschaften

Wichtige Eigenschaften

• Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen (-∞, +∞). Sie können den Arkustangens jeder reellen Zahl finden.
• Wertebereich: $(-rac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ Radiant oder (-90°, 90°)
• arctan(0) = 0: Der Tangens von 0° ist 0.
• arctan(1) = π/4 = 45°: Ein grundlegender besonderer Wert.
• arctan(-x) = -arctan(x): Die Funktion ist ungerade (symmetrisch zum Ursprung).
• Grenzwerte: Für x → +∞ gilt arctan(x) → π/2; für x → -∞ gilt arctan(x) → -π/2.

Allgemeine Lösung

Da der Tangens eine Periode von π Radiant (180°) hat, gibt es unendlich viele Winkel mit demselben Tangenswert. Die allgemeine Lösung für alle Winkel θ, bei denen tan(θ) = x ist, lautet:

Gängige Arkustangens-Werte

Diese besonderen Winkel treten in der Mathematik häufig auf und ihre Arkustangens-Werte sollten bekannt sein:

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Geben Sie Ihren Tangenswert ein: Tippen Sie eine beliebige reelle Zahl in das Eingabefeld ein. Diese kann positiv, negativ oder Null sein. Beispiele: 1, -0.5, 2.5, 1.732
2. Dezimalpräzision festlegen: Wählen Sie, wie viele Nachkommastellen Sie wünschen (1-1000). Der Standardwert 10 ist für die meisten Anwendungen geeignet.
3. Klicken Sie auf Berechnen: Drücken Sie die Schaltfläche „Arkustangens berechnen“, um den inversen Tangens zu ermitteln.
4. Ergebnisse anzeigen: Das Ergebnis zeigt den Winkel sowohl in Grad als auch in Radiant, mit interaktiven Visualisierungen, die den Winkel am Einheitskreis und der Arkustangens-Kurve darstellen.
5. Schritt-für-Schritt-Lösung prüfen: Verstehen Sie genau, wie die Berechnung durchgeführt wurde.

Die Visualisierungen verstehen

Einheitskreis-Diagramm

Die Einheitskreis-Visualisierung zeigt Ihren berechneten Winkel als Radius vom Mittelpunkt aus. Die blaue Linie ist der Radius beim Winkel θ, der rote Punkt liegt auf dem Kreis bei (cos θ, sin θ) und die grüne Linie stellt den Tangenswert dar (die Höhe bei x = 1).

Arkustangens-Kurvengraph

Dieser Graph zeigt die vollständige Arkustangens-Funktion mit Ihrem Eingabewert als rotem Punkt. Beachten Sie, wie sich die Kurve ±π/2 nähert, diese Werte aber nie erreicht (die horizontalen gestrichelten Linien), was zeigt, warum der Wertebereich ein offenes Intervall ist.

Arkustangens vs. andere inverse Winkelfunktionen

Vergleichstabelle

Im Gegensatz zu arcsin und arccos, die nur Eingaben zwischen -1 und 1 akzeptieren, akzeptiert arctan jede reelle Zahl. Dies macht ihn besonders nützlich in Anwendungen, bei denen Verhältnisse beliebig groß werden können.

Anwendungen des Arkustangens

Ingenieurwesen und Physik

• Winkelberechnungen: Finden von Winkeln aus Steigungsmessungen.
• Signalverarbeitung: Phasenwinkelberechnungen in der Elektrotechnik.
• Navigation: Peilungsberechnungen aus Koordinatendifferenzen.
• Optik: Berechnungen von Brechungswinkeln.

Computergrafik

• Rotationswinkel: Umwandlung von Richtungsvektoren in Winkel.
• Kamerasysteme: Sichtfeldberechnungen (Field of View).
• Spieleentwicklung: Charakterausrichtung basierend auf der Geschwindigkeit.

Mathematik

• Analysis: Integrationen mit Arkustangens (Ableitung von arctan ist 1/(1+x²)).
• Funktionentheorie: Argument komplexer Zahlen.
• Reihenentwicklungen: Arkustangens-Reihen zur Berechnung von π.

Die atan2-Funktion

In der Programmierung und vielen Anwendungen wird die atan2(y, x)-Funktion gegenüber arctan bevorzugt. Während arctan ein einzelnes Verhältnis nimmt, nimmt atan2 separate y- und x-Koordinaten. Dies bewahrt die Quadranteninformationen und behandelt den Fall x = 0 (was bei y/x zu einer Division durch Null führen würde).

Umrechnung zwischen Radiant und Grad

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Arkustangens (inverser Tangens)?

Der Arkustangens, geschrieben als arctan(x) oder tan^-1(x), ist die Umkehrfunktion des Tangens. Für einen gegebenen Wert x liefert arctan(x) den Winkel θ, dessen Tangens gleich x ist. Das Ergebnis liegt immer im Hauptwertbereich von -90° bis 90° (oder -π/2 bis π/2 Radiant).

Was ist der Unterschied zwischen arctan und tan^-1?

Arctan und tan^-1 sind zwei Notationen für dieselbe Funktion – den Arkustangens. Beide Notationen bedeuten „der Winkel, dessen Tangens ... ist“. Beachten Sie, dass tan^-1(x) NICHT 1/tan(x) bedeutet, was der Kehrwert (Kotangens) wäre.

Was ist der Hauptwertbereich des Arkustangens?

Der Hauptwertbereich von arctan ist (-π/2, π/2) Radiant, was in Grad (-90°, 90°) entspricht. Das bedeutet, arctan liefert immer einen Winkel zwischen -90° und 90° (exklusive). Dieser Bereich stellt sicher, dass arctan für jede Eingabe einen eindeutigen Wert liefert.

Was ist arctan(1)?

arctan(1) = 45° oder π/4 Radiant. Dies liegt daran, dass tan(45°) = 1 ist. Der Winkel 45° ist einer der besonderen Winkel in der Trigonometrie, bei denen der Tangens einen einfachen exakten Wert hat.

Wie konvertiere ich ein arctan-Ergebnis von Radiant in Grad?

Um Radiant in Grad umzurechnen, multiplizieren Sie mit 180/π (ca. 57,2958). Beispiel: arctan(1) = π/4 Radiant = (π/4) × (180/π) = 45°. Dieser Rechner zeigt die Ergebnisse automatisch in beiden Einheiten an.

Was ist die allgemeine Lösung für arctan?

Da der Tangens eine Periode von π Radiant (180°) hat, gibt es unendlich viele Winkel mit demselben Tangenswert. Die allgemeine Lösung lautet θ = arctan(x) + nπ, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Dies generiert alle Winkel, deren Tangens gleich x ist.

Zusätzliche Ressourcen

• Arkustangens und Arkuskotangens - Wikipedia
• Inverse Tangent - Wolfram MathWorld (Englisch)

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