直角三角形計算機
只要輸入任意兩個已知值(邊或角),即可求解直角三角形。透過詳細的逐步解說與視覺化圖示,計算所有未知邊長、角度以及面積與周長。
直角三角形計算機
歡迎使用我們的直角三角形計算機,這是一款用於精確且清晰地求解直角三角形的綜合線上工具。無論你已知兩條邊、一條邊和一個角,或是其他任意組合,本計算機都能幫助你求出所有未知的邊與角,並計算面積與周長,同時提供詳細的分步解答。
什麼是直角三角形?
直角三角形是指其中一個角恰好等於 90° 的三角形。與直角相對的那條邊稱為斜邊(c),並且永遠是三角形最長的一條邊。構成直角的另外兩條邊稱為直角邊(a 和 b)。
我們的直角三角形計算機的主要特色
- 彈性輸入:可輸入任意兩個已知量(邊 a、b、c 或角 A、B)。
- 完整解答:計算所有未知邊長與角度,以及三角形的面積和周長。
- 分步說明:協助你理解每一步計算背後的數學原理。
- 多種解題方法:綜合運用畢氏定理、三角函數比與互餘角性質。
- 自動驗證:透過畢氏定理與內角和為 180° 的性質自動檢查結果。
- 圖形可視化:互動式畫布繪製帶有邊與角標記的直角三角形。
- 高精度顯示:結果預設顯示到小數點後 6 位,方便進行精細分析。
直角三角形的性質與公式
基本性質
- 直角:其中一個角(C)永遠為 90°。
- 互餘角:另外兩個銳角的和為 90°:$$A + B = 90°$$。
- 斜邊:最長的邊 c 總是位於直角對面。
- 直角邊:較短的兩條邊 a 與 b 共同構成直角。
常用公式
畢氏定理:
$$a^2 + b^2 = c^2$$
這條經典公式說明:兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方,是直角三角形中最基本也最重要的關係之一。
三角函數比:
- $$\sin(A) = \frac{a}{c}$$(對邊 / 斜邊)
- $$\cos(A) = \frac{b}{c}$$(鄰邊 / 斜邊)
- $$\tan(A) = \frac{a}{b}$$(對邊 / 鄰邊)
面積與周長:
- 面積:$$A = \frac{1}{2} \times a \times b$$
- 周長:$$P = a + b + c$$
如何使用直角三角形計算機
- 確認已知條件:先判斷自己已知哪兩項數值(可以是任意兩條邊,或一條邊加上一個角)。
- 輸入已知值:在對應欄位中輸入這兩項已知數據。
- 未知欄位留空:對於未知的邊長或角度,保持輸入框為空。
- 按下「計算」:計算機會自動求出所有未知的邊與角,並給出面積與周長。
- 查看解答:透過分步推導與圖形顯示,更直觀地理解計算流程。
- 檢查結果:利用自動畢氏檢查與角度和檢查,確保結果合理一致。
常見求解情境
情境一:已知兩條邊
- 已知兩條直角邊(a 與 b):先使用畢氏定理求出斜邊 c,再利用三角函數求出角 A 與角 B。
- 已知一條直角邊與斜邊(a 與 c 或 b 與 c):先用畢氏定理求出另一條直角邊,接著用三角函數求角度。
情境二:已知一條邊與一個銳角
- 任意一條邊搭配角 A 或角 B:利用 A + B = 90° 的關係,再配合三角函數比求出其餘邊長與角度。
- 計算機會根據你的輸入,自動選擇適合的三角函數進行運算。
直角三角形的應用
直角三角形在許多領域中都扮演關鍵角色:
- 建築與工程施工:平面配置、屋頂坡度計算、結構設計。
- 導航與定位:距離與方位角計算、GPS 定位與衛星量測。
- 工程學:力量分解、機械系統分析、電路設計。
- 測量與製圖:地形測量、地圖與地形圖繪製。
- 電腦圖學:3D 建模、遊戲開發、動畫製作。
- 物理學:向量分解、拋體運動、斜面問題分析。
- 天文學:天體距離估算與位置推算。
特殊直角三角形
部分直角三角形具有特殊的角度與邊長比例:
- 45-45-90 三角形:等腰直角三角形,三邊長比為 $1:1:\sqrt{2}$。
- 30-60-90 三角形:三邊長比為 $1:\sqrt{3}:2$。
使用計算機的小技巧
- 必須剛好兩個已知值:請務必只輸入兩個已知量,多輸入或少輸入都會導致錯誤。
- 數值範圍需合理:角度必須介於 0° 與 90° 之間(不含 0° 和 90°),所有邊長皆須為正數。
- 單位需一致:所有邊長應使用相同單位(例如公分、公尺、英吋等)。
- 角度單位:輸入的角度應為「度」,而非弧度。
- 斜邊檢查:斜邊長度必須大於任一條直角邊。
理解計算結果
計算完成後,你將會得到:
- 完整幾何資訊:三條邊(a、b、c)以及三個角(A、B、C)。
- 面積與周長:三角形的面積與三邊長度總和。
- 分步解答:詳細展示每個數值的推導與計算過程。
- 驗證資訊:確認結果同時滿足畢氏定理與三角形內角和性質。
- 圖形呈現:附有邊與角標註的直角三角形互動式示意圖。
延伸閱讀資源
若想進一步學習直角三角形與三角函數,可參考以下英文資源:
- Right Triangle - Wikipedia
- Pythagorean Theorem - Wikipedia
- Right Triangle - Wolfram MathWorld
- Trigonometric Functions - Wikipedia
引用此內容、頁面或工具為:
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由 miniwebtool 團隊提供。更新日期:2025 年 11 月 14 日
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