直角三角形計算機

直角三角形計算機

歡迎使用我們的直角三角形計算機，這是一款用於精確且清晰地求解直角三角形的綜合線上工具。無論你已知兩條邊、一條邊和一個角，或是其他任意組合，本計算機都能幫助你求出所有未知的邊與角，並計算面積與周長，同時提供詳細的分步解答。

什麼是直角三角形？

直角三角形是指其中一個角恰好等於 90° 的三角形。與直角相對的那條邊稱為斜邊（c），並且永遠是三角形最長的一條邊。構成直角的另外兩條邊稱為直角邊（a 和 b）。

我們的直角三角形計算機的主要特色

• 彈性輸入：可輸入任意兩個已知量（邊 a、b、c 或角 A、B）。
• 完整解答：計算所有未知邊長與角度，以及三角形的面積和周長。
• 分步說明：協助你理解每一步計算背後的數學原理。
• 多種解題方法：綜合運用畢氏定理、三角函數比與互餘角性質。
• 自動驗證：透過畢氏定理與內角和為 180° 的性質自動檢查結果。
• 圖形可視化：互動式畫布繪製帶有邊與角標記的直角三角形。
• 高精度顯示：結果預設顯示到小數點後 6 位，方便進行精細分析。

直角三角形的性質與公式

基本性質

• 直角：其中一個角（C）永遠為 90°。
• 互餘角：另外兩個銳角的和為 90°：$$A + B = 90°$$。
• 斜邊：最長的邊 c 總是位於直角對面。
• 直角邊：較短的兩條邊 a 與 b 共同構成直角。

常用公式

畢氏定理：

$$a^2 + b^2 = c^2$$

這條經典公式說明：兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，是直角三角形中最基本也最重要的關係之一。

三角函數比：

• $$\sin(A) = \frac{a}{c}$$（對邊 / 斜邊）
• $$\cos(A) = \frac{b}{c}$$（鄰邊 / 斜邊）
• $$\tan(A) = \frac{a}{b}$$（對邊 / 鄰邊）

面積與周長：

• 面積：$$A = \frac{1}{2} \times a \times b$$
• 周長：$$P = a + b + c$$

如何使用直角三角形計算機

1. 確認已知條件：先判斷自己已知哪兩項數值（可以是任意兩條邊，或一條邊加上一個角）。
2. 輸入已知值：在對應欄位中輸入這兩項已知數據。
3. 未知欄位留空：對於未知的邊長或角度，保持輸入框為空。
4. 按下「計算」：計算機會自動求出所有未知的邊與角，並給出面積與周長。
5. 查看解答：透過分步推導與圖形顯示，更直觀地理解計算流程。
6. 檢查結果：利用自動畢氏檢查與角度和檢查，確保結果合理一致。

常見求解情境

情境一：已知兩條邊

• 已知兩條直角邊（a 與 b）：先使用畢氏定理求出斜邊 c，再利用三角函數求出角 A 與角 B。
• 已知一條直角邊與斜邊（a 與 c 或 b 與 c）：先用畢氏定理求出另一條直角邊，接著用三角函數求角度。

情境二：已知一條邊與一個銳角

• 任意一條邊搭配角 A 或角 B：利用 A + B = 90° 的關係，再配合三角函數比求出其餘邊長與角度。
• 計算機會根據你的輸入，自動選擇適合的三角函數進行運算。

直角三角形的應用

直角三角形在許多領域中都扮演關鍵角色：

• 建築與工程施工：平面配置、屋頂坡度計算、結構設計。
• 導航與定位：距離與方位角計算、GPS 定位與衛星量測。
• 工程學：力量分解、機械系統分析、電路設計。
• 測量與製圖：地形測量、地圖與地形圖繪製。
• 電腦圖學：3D 建模、遊戲開發、動畫製作。
• 物理學：向量分解、拋體運動、斜面問題分析。
• 天文學：天體距離估算與位置推算。

特殊直角三角形

部分直角三角形具有特殊的角度與邊長比例：

• 45-45-90 三角形：等腰直角三角形，三邊長比為 $1:1:\sqrt{2}$。
• 30-60-90 三角形：三邊長比為 $1:\sqrt{3}:2$。

使用計算機的小技巧

• 必須剛好兩個已知值：請務必只輸入兩個已知量，多輸入或少輸入都會導致錯誤。
• 數值範圍需合理：角度必須介於 0° 與 90° 之間（不含 0° 和 90°），所有邊長皆須為正數。
• 單位需一致：所有邊長應使用相同單位（例如公分、公尺、英吋等）。
• 角度單位：輸入的角度應為「度」，而非弧度。
• 斜邊檢查：斜邊長度必須大於任一條直角邊。

理解計算結果

計算完成後，你將會得到：

• 完整幾何資訊：三條邊（a、b、c）以及三個角（A、B、C）。
• 面積與周長：三角形的面積與三邊長度總和。
• 分步解答：詳細展示每個數值的推導與計算過程。
• 驗證資訊：確認結果同時滿足畢氏定理與三角形內角和性質。
• 圖形呈現：附有邊與角標註的直角三角形互動式示意圖。

延伸閱讀資源

若想進一步學習直角三角形與三角函數，可參考以下英文資源：

• Right Triangle - Wikipedia
• Pythagorean Theorem - Wikipedia
• Right Triangle - Wolfram MathWorld
• Trigonometric Functions - Wikipedia