เครื่องแก้โจทย์อัตราการทำงาน

เครื่องแก้โจทย์อัตราการทำงาน (Work Rate Problem Solver) ครอบคลุมโจทย์ปัญหา "A และ B ทำงานร่วมกัน" ที่พบบ่อยที่สุด 5 ประเภทในที่เดียว: โจทย์เวลาทำงานร่วมกันแบบคลาสสิก, โจทย์หาคนงานที่หายไปเมื่อทราบเวลาของคนหนึ่งและเวลาทีมแต่ไม่ทราบเวลาของอีกคน, โจทย์เวลาสุทธิของท่อเติมเทียบกับท่อระบาย, โจทย์สลับกะการทำงานที่คนงานสองคนผลัดกันทำงาน และโจทย์การทำงานเสร็จบางส่วนที่คนงานคนหนึ่งเริ่มคนเดียวและอีกคนเข้าร่วมภายหลัง เพียงระบุเวลาทำงานคนเดียวในหน่วยที่คุณต้องการ — ชั่วโมง, นาที, วัน หรือวินาที — เครื่องแก้โจทย์จะใช้กฎการบวกอัตรา อธิบายพีชคณิตทีละขั้นตอนในรูปแบบ LaTeX และแสดงการแสดงภาพวงกลมคู่แบบเคลื่อนไหวโดยแบ่งตามสัดส่วนอัตราการทำงานของแต่ละคน

วิธีใช้เครื่องแก้โจทย์นี้

1. เลือกสถานการณ์ที่ตรงกับโจทย์ของคุณจากรายการ — ทำงานร่วมกัน, คนงานที่หายไป, เติมเทียบกับระบายออก, สลับกะ หรือ A ทำคนเดียวแล้ว B เข้าร่วม
2. เลือกหน่วยเวลา (ชั่วโมง, นาที, วัน หรือวินาที) ข้อมูลที่ป้อนทั้งหมดจะใช้หน่วยเดียวกันนี้
3. ป้อนเวลาทำงานคนเดียวของคนงานแต่ละคน สำหรับกรณีหาคนงานที่หายไป ให้ป้อนเวลาทำงานร่วมกันด้วย สำหรับท่อ ให้ป้อนเวลาเติมและเวลาระบาย สำหรับการสลับกะ ให้ป้อนความยาวกะและใครเป็นผู้เริ่ม สำหรับงานบางส่วน ให้ป้อนเวลาที่ A ทำงานคนเดียวก่อนที่ B จะเข้าร่วม
4. คลิก แก้โจทย์ ค่าที่เป็นหัวข้อข่าวคือปริมาณที่หายไป — เวลาทำงานร่วมกัน, เวลาทำงานคนเดียวของ B, เวลาเติมสุทธิ, เวลารวมที่ผ่านไป หรือเวลาโครงการทั้งหมด
5. ชมแผนภูมิวงกลมคู่ที่เติมตามสัดส่วนอัตราของคนงานแต่ละคน และอ่านคำอธิบายทีละขั้นตอนในรูปแบบ LaTeX

สูตรทั้ง 5 แบบโดยสรุป

กฎการบวกอัตรา (แนวคิดหลัก)

โจทย์อัตราการทำงานทุกข้อลดรูปเหลือเอกลักษณ์เดียวคือ: อัตราจะบวกกันเมื่อคนงานร่วมมือกัน แต่เวลาจะไม่บวกกัน หาก A ทำงานหนึ่งชิ้นเสร็จในเวลา \( T_A \) แสดงว่า A ทำงานได้ \( 1/T_A \) ของงานต่อหน่วยเวลา คนงานสองคนจะมีส่วนร่วมในเศษส่วนต่อหน่วยเวลาแยกกันดังนี้:

\[ \frac{1}{T} \;=\; \frac{1}{T_A} + \frac{1}{T_B} \]

แต่ละสถานการณ์ในเครื่องคำนวณนี้เป็นเพียงการหาค่าที่ไม่ทราบที่แตกต่างกันในสมการเดียวกันนี้:

• ร่วมกัน — หาค่า \( T \) เมื่อกำหนด \( T_A \) และ \( T_B \)
• หายไป — หาค่า \( T_B \) เมื่อกำหนด \( T_A \) และเวลาร่วมกัน \( T \)
• ท่อ — สลับเครื่องหมายของพจน์หนึ่ง: \( 1/T = 1/T_f - 1/T_d \)
• สลับ — แบ่งเวลาเป็นรอบ A+B โดยแต่ละรอบทำงานได้ \( L(r_A+r_B) \) ของงาน
• บางส่วน — แบ่งเส้นเวลา: A ทำคนเดียว แล้วจึงทำร่วมกัน

ตัวอย่างโจทย์: ช่างทาสีสองคน

ช่างทาสี A สามารถทาสีผนังเสร็จใน 6 ชั่วโมง ช่างทาสี B สามารถทาสีผนังเดิมเสร็จใน 4 ชั่วโมง พวกเขาจะใช้เวลานานเท่าใดหากทำงานร่วมกัน?

1. อัตราของ A: \( r_A = 1/6 \) ผนังต่อชั่วโมง
2. อัตราของ B: \( r_B = 1/4 \) ผนังต่อชั่วโมง
3. อัตราเมื่อรวมกัน: \( r_A + r_B = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 \) ผนังต่อชั่วโมง
4. เวลารวม: \( T = 1 / (5/12) = 12/5 = 2.4 \) ชั่วโมง = 2 ชั่วโมง 24 นาที
5. สังเกต: คำตอบ (2.4 ชม.) น้อยกว่าทั้ง 4 ชม. และ 6 ชม. — การเพิ่มคนงานคนที่สองช่วยให้งานเร็วขึ้นเสมอ

ตัวอย่างโจทย์: ผู้ช่วยที่หายไป

คุณทราบว่า A ทำงานคนเดียวใช้เวลา 5 ชั่วโมง เมื่อมีผู้ช่วย B ที่ไม่ทราบข้อมูล ทีมงานจะทำงานเสร็จใน 2 ชั่วโมง B จะใช้เวลานานเท่าใดหากทำงานคนเดียว?

1. อัตราเมื่อรวมกัน: \( r_T = 1/2 = 0.5 \) งานต่อชั่วโมง
2. อัตราของ A: \( r_A = 1/5 = 0.2 \) งานต่อชั่วโมง
3. ลบกัน: \( r_B = 0.5 - 0.2 = 0.3 \) งานต่อชั่วโมง
4. เวลาคนเดียวของ B: \( T_B = 1/0.3 \approx 3.33 \) ชั่วโมง

ตัวอย่างโจทย์: ท่อเติมเทียบกับท่อระบาย

ท่อเติมเติมน้ำเต็มถังใน 5 ชั่วโมง ท่อระบายระบายน้ำออกจากถังเดิมหมดใน 8 ชั่วโมง เปิดทั้งสองท่อพร้อมกัน จะใช้เวลานานเท่าใดถังจึงจะเต็ม?

1. อัตราการเติม: \( r_f = 1/5 = 0.20 \) ถังต่อชั่วโมง
2. อัตราการระบาย: \( r_d = 1/8 = 0.125 \) ถังต่อชั่วโมง
3. อัตราสุทธิ: \( r_{net} = 0.20 - 0.125 = 0.075 \) ถังต่อชั่วโมง
4. เวลาในการเติม: \( T = 1/0.075 \approx 13.33 \) ชั่วโมง = 13 ชม. 20 นาที
5. การตรวจสอบความสมเหตุสมผล: การเติมคนเดียวใช้เวลา 5 ชม. เมื่อมีการระบายสวนทางกัน เวลาจะเพิ่มขึ้นมากกว่าสองเท่า หากท่อระบายเร็วกว่าท่อเติม ถังจะไม่มีวันเต็ม

ตัวอย่างโจทย์: การสลับกะละหนึ่งชั่วโมง

A ทำงานเสร็จคนเดียวใน 6 ชั่วโมง B ทำงานคนเดียวใช้เวลา 8 ชั่วโมง พวกเขาผลัดกันทำงานกะละหนึ่งชั่วโมง โดย A เริ่มก่อน งานจะใช้เวลานานเท่าใด?

1. งานต่อคู่: \( L(r_A + r_B) = 1 \cdot (1/6 + 1/8) = 7/24 \approx 0.2917 \) ของงานต่อคู่
2. ทำงานครบสามคู่ (6 ชั่วโมง) จะเสร็จงานไป \( 3 \cdot 7/24 = 21/24 = 0.875 \) ของงาน
3. งานที่เหลือ: 0.125 กะถัดไป 1 ชั่วโมงของ A จะทำงานได้ \( 1/6 \approx 0.1667 \) ซึ่งมากกว่า 0.125 ดังนั้น A จะทำงานเสร็จในระหว่างกะที่ 4 ของเขา
4. เวลาที่ A ต้องการสำหรับงาน 0.125 สุดท้าย: \( 0.125 / (1/6) = 0.75 \) ชั่วโมง
5. เวลารวม: \( 6 + 0.75 = 6.75 \) ชั่วโมง = 6 ชม. 45 นาที

ตัวอย่างโจทย์: การทำงานเสร็จบางส่วน

A เริ่มทำงานคนเดียว (เวลาคนเดียวของ A คือ 6 ชม.) หลังจากผ่านไป 2 ชั่วโมง B จึงเข้าร่วม (เวลาคนเดียวของ B คือ 4 ชม.) จะใช้เวลานานเท่าใดจนกว่างานจะเสร็จ?

1. งานที่ A ทำเสร็จคนเดียว: \( (1/6) \cdot 2 = 1/3 \) ของงาน
2. งานที่เหลือ: \( 1 - 1/3 = 2/3 \)
3. อัตราเมื่อร่วมกัน: \( 1/6 + 1/4 = 5/12 \) ต่อชั่วโมง
4. เวลาสำหรับช่วงที่ทำร่วมกัน: \( (2/3) / (5/12) = (2/3) \cdot (12/5) = 8/5 = 1.6 \) ชั่วโมง
5. รวมทั้งหมด: \( 2 + 1.6 = 3.6 \) ชั่วโมง = 3 ชม. 36 นาที

ข้อผิดพลาดทั่วไปและวิธีหลีกเลี่ยง

• การบวกเวลาแทนที่จะบวกอัตรา — ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของนักเรียน หาก A ใช้เวลา 6 ชม. และ B ใช้เวลา 4 ชม. คำตอบจะไม่ใช่ 5 ชม. (ค่าเฉลี่ย) และไม่ใช่ 10 ชม. (ผลรวม) แต่คือ 2.4 ชม. ซึ่งหาได้จากการบวกอัตรา
• เวลาทำงานร่วมกันต้องสั้นกว่าคนงานที่เร็วที่สุด — เวลารวมต้องน้อยกว่าทั้ง \( T_A \) และ \( T_B \) หากคุณคำนวณได้มากกว่านั้น แสดงว่ามีข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์
• ท่อที่ไม่มีวันเต็ม — หากอัตราการระบายมากกว่าหรือเท่ากับอัตราการเติม ถังจะไม่เต็มไม่ว่าจะผ่านไปนานแค่ไหน เครื่องคำนวณจะแจ้งเตือนคุณ
• การใช้หน่วยเวลาปนกัน — การป้อนข้อมูลบางส่วนเป็นนาทีและบางส่วนเป็นชั่วโมงจะทำให้ผลลัพธ์ผิดพลาด เลือกหน่วยเดียวที่ด้านบนและใช้หน่วยนั้นกับข้อมูลทั้งหมด
• การสลับกะ: อย่าลืมกะสุดท้ายที่ไม่เต็มเวลา — หลังจากนับรอบ A+B ที่สมบูรณ์แล้ว งานมักจะเสร็จสิ้นระหว่างกะ ให้แก้โจทย์เพื่อหาเวลากะสุดท้ายที่แน่นอน
• งานบางส่วน: A อาจทำงานเสร็จก่อน B จะเข้าร่วม — หาก \( r_A \cdot t_{solo} \geq 1 \) แสดงว่า A ทำงานเสร็จแล้ว และ B จะไม่ได้เริ่มทำงานเลย เครื่องคำนวณจะจัดการกรณีนี้ให้โดยอัตโนมัติ

อ้างอิงด่วน — อัตราเทียบกับเวลา

โจทย์อัตราการทำงานในชีวิตจริง

• การก่อสร้างและการรับเหมา — การประเมินว่าทีมงานสองคนจะใช้เวลานานเท่าใดเมื่อทราบความเร็วในการทำงานคนเดียวของแต่ละคน
• ท่อและการประปา — การกำหนดขนาดปั๊มและท่อระบายน้ำล้นเพื่อให้ถังมีระดับน้ำตามเป้าหมายในเวลาที่กำหนด
• ซอฟต์แวร์และ CI — เครื่องรันการทดสอบสองเครื่องที่ทำงานแบบขนานกัน เวลาจริงจะเท่ากับเวลาของเครื่องที่ช้าที่สุด แต่ปริมาณงานที่ทำได้จะเท่ากับผลรวมของอัตรา
• การผลิต — เครื่องจักรหลายเครื่องในสายการผลิตเดียวกัน ปริมาณงานทั้งหมดคือผลรวมของปริมาณงานต่อเครื่อง
• การศึกษา — โจทย์อัตราการทำงานเป็นส่วนสำคัญของข้อสอบ SAT/ACT, GRE, GMAT และตำราพีชคณิตส่วนใหญ่ (บทที่เกี่ยวกับสมการตรรกยะ)

คำถามที่พบบ่อย