เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย

คำนวณอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันหลายตัวแปรพร้อมวิธีแก้ทีละขั้นตอนโดยละเอียด ตัวอย่างแบบโต้ตอบ และการแสดงภาพทางเรขาคณิตของระนาบสัมผัส

ลองใช้ตัวอย่างเหล่านี้

x**2*y + y**3 เทียบกับ x sin(x*y) แบบผสม e**(x+y) อันดับสอง x**2+y**2+z**2 เทียบกับ x ln(x**2+y**2) แบบผสม x*y*z อนุพันธ์สามชั้น

f ฟังก์ชัน f(x, y, ...)

ใช้ ** สำหรับยกกำลัง, sin, cos, exp, log, sqrt สำหรับฟังก์ชัน

d หาอนุพันธ์เทียบกับ

x อันดับหนึ่ง | x:2 อันดับสอง | x,y ย่อยแบบผสม

Embed เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย ของเรา ซึ่งเป็นเครื่องมือที่ครอบคลุมสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันหลายตัวแปรพร้อมวิธีแก้ทีละขั้นตอนโดยละเอียด ไม่ว่าคุณจะเป็นนักศึกษาแคลคูลัสที่กำลังเรียนรู้การหาอนุพันธ์หลายตัวแปร วิศวกรที่กำลังแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด หรือนักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานเกี่ยวกับสมการอัตราการเปลี่ยนแปลง เครื่องคำนวณนี้จะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำพร้อมคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่ครบถ้วน

อนุพันธ์ย่อยคืออะไร?

อนุพันธ์ย่อย คือการวัดว่าฟังก์ชันหลายตัวแปรเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อตัวแปรอินพุตตัวหนึ่งเปลี่ยนแปลงไปในขณะที่ตัวแปรอื่นทั้งหมดคงที่ แตกต่างจากอนุพันธ์สามัญที่ใช้กับฟังก์ชันตัวแปรเดียว อนุพันธ์ย่อยเป็นพื้นฐานของแคลคูลัสหลายตัวแปรและปรากฏอยู่ในวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ และการเรียนรู้ของเครื่อง

นิยามทางคณิตศาสตร์

สำหรับฟังก์ชัน $ f(x, y) $ สองตัวแปร อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ $ x $ ถูกกำหนดดังนี้:

นิยามอนุพันธ์ย่อย

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} $$

เมื่อคำนวณ $ \frac{\partial f}{\partial x} $ เราจะถือว่า $ y $ เป็นค่าคงตัวและหาอนุพันธ์เทียบกับ $ x $ เท่านั้น ในทำนองเดียวกัน $ \frac{\partial f}{\partial y} $ จะถือว่า $ x $ เป็นค่าคงตัว

แนวคิดหลัก

1 อนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง

หาอนุพันธ์หนึ่งครั้งเทียบกับตัวแปรตัวเดียวโดยถือตัวแปรอื่นคงที่ สำหรับ $ f(x,y) $ คือ $ f_x $ และ $ f_y $

2 อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง

หาอนุพันธ์สองครั้ง ไม่ว่าจะเป็น $ f_{xx} $, $ f_{yy} $ (แบบล้วน) หรือ $ f_{xy} $, $ f_{yx} $ (อนุพันธ์ย่อยแบบผสม)

3 อนุพันธ์ย่อยแบบผสม

ตามทฤษฎีบทของ Clairaut หากอนุพันธ์ย่อยอันดับสองมีความต่อเนื่อง ดังนั้น $ f_{xy} = f_{yx} $ ลำดับการหาอนุพันธ์จะไม่มีผล

4 เวกเตอร์เกรเดียนต์

เกรเดียนต์ $ \nabla f = (f_x, f_y, f_z) $ ชี้ไปในทิศทางที่เพิ่มขึ้นมากที่สุด ขนาดของมันคืออัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุด

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

ป้อนฟังก์ชันของคุณ: พิมพ์ฟังก์ชันหลายตัวแปรโดยใช้สัญลักษณ์มาตรฐาน ตัวอย่าง: x**2*y, sin(x*y), e**x * cos(y), x**3 + y**3 - 3*x*y
ระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์: ป้อนตัวแปรที่จะหาอนุพันธ์เทียบกับ:
- x — อนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับ x
- x:2 — อนุพันธ์อันดับสองเทียบกับ x
- x,y — อนุพันธ์ย่อยแบบผสม (x ก่อน แล้วค่อย y)
- x:2,y:1 — อันดับสองเทียบกับ x และอันดับหนึ่งเทียบกับ y
คลิก คำนวณ: เครื่องคำนวณจะคำนวณอนุพันธ์ย่อยพร้อมวิธีแก้ทีละขั้นตอนที่สมบูรณ์โดยแสดงว่ามีการใช้กฎการหาอนุพันธ์ใดบ้าง

ฟังก์ชันและไวยากรณ์ที่รองรับ

ประเภทฟังก์ชัน	ตัวอย่างไวยากรณ์	หมายเหตุ
ยกกำลัง	`x2`, `x^3`, `x0.5`	ใช้ ** หรือ ^ สำหรับเลขชี้กำลัง
ตรีโกณมิติ	`sin(x)`, `cos(y)`, `tan(z)`	อื่นๆ: sec, csc, cot
ตรีโกณมิติผกผัน	`asin(x)`, `atan(y)`	อื่นๆ: acos, acot, asec, acsc
เอกซ์โพเนนเชียล	`exp(x)`, `e**x`	ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลธรรมชาติ
ลอการิทึม	`log(x)`, `ln(x)`	ลอการิทึมธรรมชาติ (ฐาน e)
รากที่สอง	`sqrt(x)`, `x**0.5`	รูปแบบที่เท่ากัน
ไฮเพอร์โบลิก	`sinh(x)`, `cosh(y)`, `tanh(z)`	ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก
การคูณ	`x*y`, `xy`, `2xy`	รองรับการคูณแบบละเครื่องหมาย

กฎการหาอนุพันธ์ที่ใช้

เครื่องคำนวณนี้จะระบุและแสดงกฎการหาอนุพันธ์ที่ใช้ในแต่ละขั้นตอน:

กฎเลขยกกำลัง: $ \frac{\partial}{\partial x}(x^n) = nx^{n-1} $
กฎผลบวก: $ \frac{\partial}{\partial x}(f + g) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} $
กฎผลคูณ: $ \frac{\partial}{\partial x}(fg) = f\frac{\partial g}{\partial x} + g\frac{\partial f}{\partial x} $
กฎผลหาร: $ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\frac{\partial f}{\partial x} - f\frac{\partial g}{\partial x}}{g^2} $
กฎลูกโซ่: $ \frac{\partial}{\partial x}f(g(x,y)) = f'(g) \cdot \frac{\partial g}{\partial x} $
กฎการคูณด้วยค่าคงตัว: $ \frac{\partial}{\partial x}(cf) = c\frac{\partial f}{\partial x} $

การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ย่อย

เกรเดียนต์และการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด

อนุพันธ์ย่อยประกอบกันเป็นเวกเตอร์เกรเดียนต์ ซึ่งจำเป็นสำหรับการหาจุดสูงสุด จุดต่ำสุด และจุดอานม้าของฟังก์ชันหลายตัวแปร การตั้งค่าอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดให้เป็นศูนย์จะช่วยหาตำแหน่งของจุดวิกฤต

ฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์

อนุพันธ์ย่อยอธิบายว่าปริมาณทางฟิสิกส์เปลี่ยนแปลงอย่างไร: เกรเดียนต์ของอุณหภูมิ ศักย์ไฟฟ้า พลศาสตร์ของไหล และสมการคลื่น ล้วนอาศัยการหาอนุพันธ์ย่อย

การเรียนรู้ของเครื่อง (Machine Learning)

อัลกอริทึม Gradient Descent ใช้อนุพันธ์ย่อยเพื่อลดฟังก์ชันการสูญเสีย (Loss Function) ให้เหลือน้อยที่สุด น้ำหนักแต่ละตัวในโครงข่ายประสาทจะถูกอัปเดตโดยใช้อนุพันธ์ย่อยของการสูญเสียเทียบกับน้ำหนักนั้น

เศรษฐศาสตร์

การวิเคราะห์ส่วนเพิ่ม (Marginal Analysis) ใช้อนุพันธ์ย่อยเพื่อวัดว่าผลผลิตเปลี่ยนแปลงอย่างไรเทียบกับปัจจัยนำเข้าหนึ่ง (แรงงาน, ทุน) ในขณะที่ปัจจัยอื่นคงที่

คำถามที่พบบ่อย

อนุพันธ์ย่อยคืออะไร?

อนุพันธ์ย่อยคือการวัดว่าฟังก์ชันหลายตัวแปรเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนไป ในขณะที่ตัวแปรอื่นทั้งหมดคงที่ สำหรับฟังก์ชัน f(x,y) อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x ซึ่งเขียนเป็น df/dx จะถือว่า y เป็นค่าคงตัวและหาอนุพันธ์เทียบกับ x เท่านั้น

ฉันจะคำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับสองได้อย่างไร?

ในการคำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง คุณต้องหาอนุพันธ์สองครั้ง คุณสามารถหาอนุพันธ์สองครั้งเทียบกับตัวแปรเดียวกัน (เช่น d2f/dx2) หรือเทียบกับตัวแปรที่ต่างกัน (อนุพันธ์ย่อยแบบผสม เช่น d2f/dxdy) ป้อนรูปแบบเช่น 'x:2' สำหรับอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับ x หรือ 'x,y' สำหรับอนุพันธ์ย่อยแบบผสม

อนุพันธ์ย่อยและอนุพันธ์สามัญแตกต่างกันอย่างไร?

อนุพันธ์สามัญใช้กับฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงเทียบกับตัวแปรนั้นตัวเดียว อนุพันธ์ย่อยใช้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรและวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงเทียบกับตัวแปรหนึ่งในขณะที่ถือว่าตัวแปรอื่นทั้งหมดเป็นค่าคงตัว

อนุพันธ์ย่อยแบบผสมคืออะไร?

อนุพันธ์ย่อยแบบผสมเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์เทียบกับตัวแปรที่ต่างกันตามลำดับ ตัวอย่างเช่น d2f/dxdy หมายถึงการหาอนุพันธ์ของ f เทียบกับ y ก่อน แล้วจึงหาอนุพันธ์ของผลลัพธ์เทียบกับ x ตามทฤษฎีบทของ Clairaut สำหรับฟังก์ชันส่วนใหญ่ d2f/dxdy = d2f/dydx

ฉันจะป้อนฟังก์ชันในเครื่องคำนวณได้อย่างไร?

ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน: x**2 หรือ x^2 สำหรับยกกำลัง, sin(x), cos(x), tan(x) สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ, exp(x) หรือ e**x สำหรับเอกซ์โพเนนเชียล, log(x) หรือ ln(x) สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ, sqrt(x) สำหรับรากที่สอง การคูณสามารถเป็นแบบละเครื่องหมาย (xy) หรือแบบระบุเครื่องหมาย (x*y) ก็ได้