เครื่องคิดเลขอนุพันธ์

คำนวณอนุพันธ์ได้ทันทีพร้อมแสดงวิธีทำทีละขั้นตอน รองรับอนุพันธ์ตัวแปรเดียว, อนุพันธ์ย่อย, อนุพันธ์โดยปริยาย และอนุพันธ์ทิศทาง พร้อมการแสดงภาพประกอบแบบโต้ตอบ

เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ตัวแปรเดียว

ตัวอย่างด่วน:

พหุนาม ผลคูณตรีโกณมิติ Exp * Log อนุพันธ์อันดับ 2 กฎลูกโซ่

ฟังก์ชัน f(x)

ใช้ ** สำหรับเลขยกกำลัง (x**2), ฟังก์ชันมาตรฐาน: sin, cos, tan, e**x, ln(x)

ตัวแปร

อันดับของอนุพันธ์

1 ถึง 10

เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ย่อย

ตัวอย่างด่วน:

df/dx อนุพันธ์ย่อยผสม 3 ตัวแปร อันดับที่ 2

ฟังก์ชัน f(x, y, ...)

ตัวแปร (ไม่บังคับ)

เว้นว่างไว้เพื่อตรวจหาอัตโนมัติ

อันดับอนุพันธ์

รูปแบบ: ตัวแปร:อันดับ, ตัวแปร:อันดับ

เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ฟังก์ชันแฝง

ตัวอย่างด่วน:

วงกลม Folium เลขชี้กำลัง อันดับที่ 2

สมการ F(x, y) = 0

ป้อนด้านซ้ายของสมการ (สมมติให้ = 0 โดยอัตโนมัติ)

ตัวแปรตาม

ตัวแปรอิสระ

อันดับ

Embed เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ ของเรา เครื่องมือทางแคลคูลัสที่ครอบคลุมซึ่งคำนวณอนุพันธ์พร้อมวิธีทำอย่างละเอียดและภาพประกอบแบบโต้ตอบ ไม่ว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ตัวแปรเดียว, อนุพันธ์ย่อยสำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปร, การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝง หรืออนุพันธ์ทิศทางพร้อมการวิเคราะห์เกรเดียนต์ เครื่องคิดเลขนี้ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำพร้อมคำอธิบายเพื่อการศึกษา

อนุพันธ์คืออะไร?

อนุพันธ์ คือการวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร ในทางเรขาคณิต อนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจะแทนค่าความชันของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น อนุพันธ์เป็นพื้นฐานของแคลคูลัสและมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ และสาขาอื่นๆ อีกมากมาย

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับ x เขียนแทนด้วย:

สัญลักษณ์ของอนุพันธ์

\( f'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

ประเภทของอนุพันธ์ที่รองรับ

1. อนุพันธ์ตัวแปรเดียว

คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับหนึ่งตัวแปร รองรับอนุพันธ์อันดับสูงจนถึงอันดับที่ 10 เครื่องคิดเลขจะระบุว่าใช้กฎการหาอนุพันธ์ข้อใด (กฎกำลัง, กฎผลคูณ, กฎลูกโซ่ ฯลฯ) และแสดงขั้นตอนทั้งหมด

2. อนุพันธ์ย่อย

สำหรับฟังก์ชันที่มีหลายตัวแปร f(x, y, z, ...) อนุพันธ์ย่อยจะวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงเทียบกับตัวแปรหนึ่งตัวโดยถือว่าตัวแปรอื่นๆ เป็นค่าคงที่ จำเป็นอย่างยิ่งสำหรับแคลคูลัสหลายตัวแปร การหาค่าที่เหมาะสมที่สุด และฟิสิกส์ รองรับอนุพันธ์ย่อยผสม เช่น อนุพันธ์ย่อยอันดับสองเทียบกับ x แล้วตามด้วย y

3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝง

หาอนุพันธ์เมื่อฟังก์ชันถูกกำหนดในรูปแบบแฝงด้วยสมการ F(x, y) = 0 ใช้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝงเพื่อหา dy/dx โดยไม่ต้องแก้สมการหา y อย่างชัดเจน มีประโยชน์สำหรับเส้นโค้งเช่น วงกลม วงรี และความสัมพันธ์ในรูปแบบแฝงอื่นๆ

4. อนุพันธ์ทิศทาง

วัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในทิศทางใดๆ ที่ระบุ คำนวณเวกเตอร์เกรเดียนต์และหาผลคูณเชิงสเกลาร์กับเวกเตอร์ทิศทางหนึ่งหน่วย แสดงขั้นตอนทั้งหมดรวมถึงการคำนวณเกรเดียนต์ การทำให้เวกเตอร์เป็นหน่วย และค่าอนุพันธ์ทิศทางสุดท้าย

กฎการหาอนุพันธ์ที่พบบ่อย

กฎกำลัง (Power Rule)

\( \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \)

ตัวอย่าง: \( \frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2 \)

กฎผลคูณ (Product Rule)

\( \frac{d}{dx}[f \cdot g] = f'g + fg' \)

ตัวอย่าง: \( \frac{d}{dx}[x \cdot \sin(x)] = \sin(x) + x\cos(x) \)

กฎลูกโซ่ (Chain Rule)

\( \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)

ตัวอย่าง: \( \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = 2x\cos(x^2) \)

กฎผลหาร (Quotient Rule)

\( \frac{d}{dx}\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f'g - fg'}{g^2} \)

ตัวอย่าง: \( \frac{d}{dx}\left[\frac{x}{x+1}\right] = \frac{1}{(x+1)^2} \)

วิธีใช้งานเครื่องคิดเลขนี้

เลือกประเภทอนุพันธ์: เลือกประเภทอนุพันธ์ที่คุณต้องการ: ตัวแปรเดียว, อนุพันธ์ย่อย, ฟังก์ชันแฝง หรืออนุพันธ์ทิศทาง จากแท็บของเครื่องคิดเลข
ป้อนฟังก์ชันของคุณ: พิมพ์ฟังก์ชันของคุณโดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน ใช้ ** สำหรับเลขยกกำลัง (เช่น x**2), * สำหรับการคูณ และฟังก์ชันมาตรฐานเช่น sin(x), cos(x), e**x, ln(x)
ระบุพารามิเตอร์: ป้อนตัวแปรที่ต้องการหาอนุพันธ์เทียบ, อันดับของอนุพันธ์ (อันดับ 1, 2 เป็นต้น) และพารามิเตอร์เพิ่มเติมที่จำเป็นสำหรับประเภทอนุพันธ์ของคุณ
คำนวณและตรวจสอบ: คลิกปุ่มคำนวณเพื่อหาค่าอนุพันธ์ ตรวจสอบผลลัพธ์พร้อมกับวิธีทำทีละขั้นตอนซึ่งแสดงกฎการหาอนุพันธ์ที่นำมาใช้
วิเคราะห์ภาพประกอบ: สำหรับอนุพันธ์ตัวแปรเดียว ให้ตรวจสอบกราฟแบบโต้ตอบที่แสดงทั้งฟังก์ชันเดิมและอนุพันธ์ของมันเพื่อทำความเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างกัน

รูปแบบการป้อนฟังก์ชัน

ใช้รูปแบบต่อไปนี้เมื่อป้อนฟังก์ชัน:

เลขยกกำลัง: ใช้ ** (เช่น x**2 สำหรับ x ยกกำลังสอง, x**3 สำหรับ x ยกกำลังสาม)
การคูณ: ใช้ * (เช่น 2*x, x*y) - การคูณแบบละเครื่องหมายเช่น 2x ก็สามารถใช้ได้เช่นกัน
ตรีโกณมิติ: sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)
ตรีโกณมิติผกผัน: asin(x), acos(x), atan(x)
เลขชี้กำลัง: e**x หรือ exp(x)
ลอการิทึม: ln(x) สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ, log(x, base) สำหรับฐานอื่นๆ
รากที่สอง: sqrt(x) หรือ x**(1/2)
ค่าสัมบูรณ์: Abs(x)

การทำความเข้าใจผลลัพธ์

วิธีทำทีละขั้นตอน

การคำนวณแต่ละรายการจะมีขั้นตอนโดยละเอียดซึ่งแสดง:

การระบุฟังก์ชันเดิม
กฎการหาอนุพันธ์ที่ใช้ในแต่ละขั้นตอน
การคำนวณระหว่างทางสำหรับอนุพันธ์อันดับสูง
ผลลัพธ์สุดท้ายในรูปอย่างง่าย

การแสดงภาพแบบโต้ตอบ

สำหรับอนุพันธ์ตัวแปรเดียว เครื่องคิดเลขจะสร้างกราฟ Chart.js แบบโต้ตอบที่แสดงทั้งฟังก์ชันเดิม f(x) และอนุพันธ์ f'(x) การแสดงภาพนี้ช่วยให้คุณเข้าใจ:

จุดที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (อนุพันธ์เป็นบวก) หรือลดลง (อนุพันธ์เป็นลบ)
จุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ (จุดที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์)
ความสัมพันธ์ระหว่างความโค้งของฟังก์ชันและความชันของอนุพันธ์

คำถามที่พบบ่อย

อนุพันธ์ในวิชาแคลคูลัสคืออะไร?

อนุพันธ์คือการวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร ในทางเรขาคณิต จะแทนค่าความชันของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ อนุพันธ์ของ f(x) เขียนแทนด้วย f'(x) หรือ df/dx และคำนวณโดยใช้ลิมิตหรือกฎการหาอนุพันธ์ เช่น กฎกำลัง กฎผลคูณ และกฎลูกโซ่

อนุพันธ์ย่อยคืออะไร?

อนุพันธ์ย่อยคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันหลายตัวแปรเมื่อเทียบกับตัวแปรหนึ่งตัว โดยถือว่าตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดเป็นค่าคงที่ สำหรับฟังก์ชัน f(x,y) อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x เขียนเป็น df/dx หรือ f_x และวัดว่า f เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อ x เปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียว อนุพันธ์ย่อยมีความสำคัญอย่างยิ่งในแคลคูลัสหลายตัวแปร การหาค่าที่เหมาะสมที่สุด และฟิสิกส์

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝงคืออะไร?

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝงเป็นเทคนิคที่ใช้หาอนุพันธ์เมื่อฟังก์ชันถูกกำหนดในรูปแบบแฝงแทนที่จะเป็นรูปแบบชัดเจน สำหรับสมการเช่น x^2 + y^2 = 1 เราจะหาอนุพันธ์ของทั้งสองข้างเทียบกับ x โดยถือว่า y เป็นฟังก์ชันของ x และใช้กฎลูกโซ่ วิธีนี้ช่วยให้หา dy/dx ได้โดยไม่ต้องแก้สมการหา y ก่อน

อนุพันธ์ทิศทางคืออะไร?

อนุพันธ์ทิศทางวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในทิศทางใดๆ ที่ระบุ คำนวณได้จากผลคูณเชิงสเกลาร์ (dot product) ของเวกเตอร์เกรเดียนต์และเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางที่ต้องการ: D_u f = nabla f dot u อนุพันธ์ทิศทางเป็นการขยายแนวคิดของอนุพันธ์ย่อยซึ่งวัดการเปลี่ยนแปลงตามแนวแกนพิกัดเท่านั้น

ฉันจะป้อนฟังก์ชันในเครื่องคิดเลขได้อย่างไร?

ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐานด้วย ** สำหรับเลขยกกำลัง (เช่น x**2 สำหรับ x ยกกำลังสอง), * สำหรับการคูณ และชื่อฟังก์ชันมาตรฐานเช่น sin(x), cos(x), tan(x), ln(x), log(x), e**x และ sqrt(x) รองรับการคูณแบบละเครื่องหมาย ดังนั้น 2x จะถูกตีความเป็น 2*x

การประยุกต์ใช้อนุพันธ์

ฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์

ความเร็วและความเร่ง: ความเร็วคืออนุพันธ์ของตำแหน่ง; ความเร่งคืออนุพันธ์ของความเร็ว
อัตราการเปลี่ยนแปลง: การวิเคราะห์ว่าปริมาณทางฟิสิกส์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรตามเวลา
การหาค่าที่เหมาะสมที่สุด: การหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดในปัญหาการออกแบบ

เศรษฐศาสตร์และธุรกิจ

การวิเคราะห์หน่วยสุดท้าย (Marginal Analysis): ต้นทุนส่วนเพิ่ม รายได้ส่วนเพิ่ม และกำไรส่วนเพิ่ม คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันต้นทุนรวม รายได้รวม และกำไรรวม
ความยืดหยุ่น: ความยืดหยุ่นของอุปสงค์ต่อราคาใช้อนุพันธ์ในการคำนวณ
การหาค่าที่เหมาะสมที่สุด: การเพิ่มกำไรสูงสุดหรือลดต้นทุนให้ต่ำที่สุด