超幾何分布電卓

超幾何分布電卓

超幾何分布計算機は、非復元抽出シナリオの正確な確率を計算します。母集団の大きさ (N)、成功アイテムの数 (K)、抽出回数 (n)、および求めたい成功数 (k) を入力すると、ポイント確率と累積確率を、ステップごとの組合せ解法やインタラクティブな視覚化とともに即座に取得できます。

超幾何分布とは何ですか？

超幾何分布は、ちょうど K 個の成功アイテムを含むサイズ N の有限母集団から、非復元抽出（一度引いたものは戻さない）で n 回引いたときの成功数を記述する離散確率分布です。各試行が独立であると仮定する二項分布とは異なり、超幾何分布では、各抽出が残りの母集団の構成を変化させるという事実を考慮します。

超幾何分布の PMF 公式

確率質量関数 (PMF) は以下の通りです：

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n)

ここで C(a, b) = a! / (b! × (a − b)!) は二項係数（「a から b を選ぶ組合せ」）です。分子は K から k 個の成功を選び、(N − K) から (n − k) 個の失敗を選ぶ好都合な方法をカウントします。分母は N から n 個のアイテムを引くすべての可能な方法をカウントします。

パラメータの説明

• N (母集団の大きさ) — 母集団内の全アイテム数。
• K (成功状態の数) — 母集団内で「成功」と分類されるアイテムの数。
• n (試行回数) — 非復元抽出で取り出されるアイテムの数。
• k (観測された成功数) — 確率を求めたい特定の成功数。

平均、分散、および標準偏差

超幾何確率変数 X について：

• 平均: μ = nK / N
• 分散: σ² = n × (K/N) × ((N−K)/N) × ((N−n)/(N−1))
• 標準偏差: σ = √σ²

因子 (N − n) / (N − 1) は 有限母集団修正係数 と呼ばれます。これは二項分布と比較して分散を減少させ、非復元抽出が復元抽出よりも変動が少ないことを反映しています。

超幾何分布 vs. 二項分布

• 超幾何分布: 有限母集団からの非復元抽出。各抽出が次の抽出の確率を変化させます。
• 二項分布: 復元抽出（または無限母集団からの抽出）。各試行の確率は同じです。
• サンプルに対して母集団が非常に大きい場合 (N ≫ n)、超幾何分布は二項分布に近似します。

一般的な用途

• 品質管理 — 20個の欠陥品を含む500個のバッチから30個を検査したとき、ちょうど3個の欠陥品が見つかる確率は？
• カードゲーム — 標準的な52枚のデッキから5枚のポーカーの手札を配られたとき、ちょうど2枚のハートが含まれる確率は？
• 宝くじ分析 — 抽選された数字のうち、特定の個数が一致する確率は？
• 生態学 (標識再捕法) — 動物にタグを付けて再捕獲することにより、野生動物の個体数を推定する。
• 統計的検定 — フィッシャーの直接確率検定は、超幾何分布を使用して 2×2 分割表の独立性を検定します。

この電卓の使い方

1. 母集団の大きさ N (全アイテム) を入力します。
2. 成功状態の数 K (N 以下) を入力します。
3. 試行回数 n (N 以下) を入力します。
4. 観測された成功数 k (指定されたパラメータで可能な範囲) を入力します。
5. 「確率を計算する」をクリックして、正確な確率と累積確率、ステップごとの解法、PMF 棒グラフ、および壺モデルの視覚化を表示します。

よくある質問

超幾何分布は何に使われますか？

超幾何分布は、有限母集団から非復元抽出を行い、特定の特性を持つアイテムを特定の数だけ引く確率を知りたいときに使用されます。一般的なユースケースには、品質管理検査、カードゲームの確率、宝くじの当選確率、および生態学的な標識再捕法研究が含まれます。

超幾何分布は二項分布とどう違いますか？

主な違いは「復元」の有無です。二項分布は独立した試行（復元あり）を前提としていますが、超幾何分布は従属的な抽出（復元なし）をモデル化しています。母集団がサンプルよりもはるかに大きい場合、2つの分布は収束します。

k の有効な範囲は？

観測された成功数 k は、max(0, n − (N − K)) ≤ k ≤ min(n, K) を満たす必要があります。下限は残りの抽出に十分な失敗アイテムがあることを保証し、上限は利用可能な成功数または総抽出数を超えないことを保証します。

これをフィッシャーの直接確率検定に使用できますか？

はい。フィッシャーの直接確率検定は、超幾何分布を使用して確率を計算します。2×2 の分割表がある場合、この電卓を使用して、独立性の帰無仮説の下で与えられたセル数を観測する確率を計算できます。

有限母集団修正係数とは何ですか？

分散公式の (N − n) / (N − 1) という因子は、非復元抽出を考慮したものです。これは二項分布と比較して常に分散を減少させます。N に対して n が小さい場合、この因子は 1 に近くなり、修正は無視できるようになります。