絶対偏差中央値電卓

絶対偏差中央値電卓

絶対偏差中央値電卓へようこそ。これは、ステップバイステップの数式、インタラクティブなデータの可視化、および外れ値検出のインサイトを使用して MAD を計算する頑健な統計ツールです。MAD は、データに外れ値が含まれている場合や非正規分布に従う場合に、標準偏差に代わる強力な指標となります。

絶対偏差中央値 (MAD) とは何ですか？

絶対偏差中央値 (MAD) は、データセット内の値がどれだけ広がっているかを示す統計的なばらつきの頑健な指標です。平均値と偏差の 2 乗を使用する標準偏差とは異なり、MAD は中央値と絶対偏差を使用するため、外れ値や極端な値の影響を非常に受けにくいのが特徴です。

平易な言葉で言えば、MAD とは、各データポイントがデータ全体の中央値からどれだけ離れているかを示す「絶対偏差」の中央値のことです。

なぜ MAD は「頑健な」指標なのですか？

外れ値や仮定の違反に強く影響されない統計量は、頑健 (ロバスト) であるとみなされます。MAD の 破壊点 (breakdown point) は 50% です。つまり、データの最大半分が破損していても、MAD が極端に不正確な結果を出すことはありません。対照的に、平均値と標準偏差の破壊点は 0% であり、たった一つの外れ値でも劇的な影響を受ける可能性があります。

MAD 対 標準偏差: 使い分けのポイント

MAD を使用する場合

• データに外れ値や極端な値が含まれている可能性がある場合
• データが歪んでいる、または正規分布していない場合
• 外れ値検出のための頑健なベースラインが必要な場合
• 少数の異常な観測値に影響されない尺度が必要な場合
• 金融、品質管理、異常検知などの頑健性が重要な分野で作業する場合

標準偏差を使用する場合

• データが正規分布していることが確認されている場合
• 最大限の統計的効率性が必要な場合
• データがクリーンで外れ値がない場合
• パラメトリック検定の結果を使用する必要がある場合

スケール因子 (k = 1.4826)

MAD を標準偏差と比較する場合、または正規分布データの母標準偏差の頑健な推定値として MAD を使用する場合、定数 k = 1.4826 が適用されます。

この定数は次の関係から導かれます。

$$k = \frac{1}{\Phi^{-1}(3/4)} \approx 1.4826$$

ここで $\Phi^{-1}$ は標準正規分布の逆累積分布関数です。正規分布データの場合、スケーリング後の MAD は標準偏差とほぼ等しくなります。

外れ値検出のための MAD

MAD は、外れ値自体が閾値に影響を与えないため、外れ値の検出に非常に適しています。修正 Z スコア法では MAD を使用します。

通常、$|M_i| > 3.5$ であるデータポイントは外れ値としてフラグが立てられます。この方法が標準偏差を使用するよりも信頼性が高い理由は次のとおりです。

• 外れ値が、閾値の計算に使用される MAD や中央値に影響を与えない
• 複数の外れ値が存在する場合でもうまく機能する (マスキング効果が回避される)
• 非正規分布に対しても有効である

この電卓の使い方

1. データを入力する: カンマ、スペース、または改行で区切られた数値を入力します。異なるデータタイプで素早くテストするには、例ボタンを使用してください。
2. スケール因子を選択する: 生の MAD の場合は「スケーリングなし」、標準偏差を推定する場合は k=1.4826 を選択します。カスタムスケール因子を入力することもできます。
3. 精度を設定する: 小数点以下 2 桁から 15 桁の間で選択します。
4. 計算して分析する: 「MAD を計算」をクリックして、頑健性評価を含む包括的な結果を表示します。
5. ステップバイステップで確認する: MAD 計算の各ステップを示す詳細な計算内訳を確認します。

結果の理解

主な結果

• MAD: 絶対偏差中央値 - 主要な結果です
• スケーリング後の MAD: 選択したスケール因子を掛けた MAD です
• 中央値: データセットの中心値です
• 頑健性評価: MAD と標準偏差を比較した評価です

比較統計

• 平均値: 比較のための算術平均です
• 標準偏差: 比較のためのサンプル標準偏差です
• IQR: 四分位範囲 (別の頑健な指標) です
• Q1, Q3: 第 1 四分位数および第 3 四分位数です

よくある質問

絶対偏差中央値 (MAD) とは何ですか？

絶対偏差中央値 (MAD) は、統計的なばらつきを示す頑健な指標です。データの各値から中央値を引いた絶対値の中央値として計算されます: MAD = median(|xᵢ - median(X)|)。標準偏差とは異なり、MAD は外れ値の影響を受けにくいため、極端な値を含むデータセットや非正規分布のデータセットに理想的です。

MAD は標準偏差とどのように違いますか？

MAD は中央値と絶対値を使用しますが、標準偏差は平均値と偏差の 2 乗を使用します。これにより、MAD は外れ値に対してはるかに頑健になります。単一の極端な値によって標準偏差は劇的に増加する可能性がありますが、MAD にはほとんど影響しません。正規分布データの場合、MAD に 1.4826 を掛けると標準偏差に近似します。

MAD のスケール因子 k=1.4826 とは何ですか？

定数 1.4826 は、正規分布データにおいて MAD を標準偏差の一致推定量にするために使用されます。数学的には、k = 1/Φ⁻¹(3/4) であり、ここで Φ⁻¹ は標準正規分布の分位関数です。MAD に 1.4826 を掛けると、頑健な σ の推定値が得られます。

標準偏差ではなく MAD を使用すべきなのはどのような場合ですか？

データに外れ値が含まれている可能性がある場合、データが正規分布していない場合、または極端な観測値によって歪められない頑健な尺度が必要な場合に MAD を使用します。MAD は、探索的データ解析、品質管理、金融、および異常検知において特に有用です。

MAD はどのように外れ値検出に使用されますか？

MAD は、修正 Z スコアを使用した外れ値検出に非常に優れています: M = 0.6745 × (xᵢ - median) / MAD。通常、|M| > 3.5 の値は外れ値とみなされます。この方法は、外れ値が検出の閾値自体に影響を与えないため、標準偏差を使用するよりも信頼性が高いです。

この MAD 電卓はいくつの数値をサポートしていますか？

この電卓は、事実上あらゆるサイズのデータセットを処理できます。100,000 個を超える数値でテスト済みであり、即座に結果を提供します。データポイントが 3 個でも 100,000 個でも、電卓は効率的に MAD を計算します。

追加リソース

• 絶対偏差中央値 - Wikipedia
• ロバスト統計 - Wikipedia

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