三角形垂心計算電卓

三角形垂心計算電卓へようこそ。この電卓は、頂点の座標から任意の三角形の垂心（3本の垂線の交点）を求めるインタラクティブなツールです。垂線、オイラー線、ステップバイステップの解決策、および詳細な三角形分析を表示するライブ図面を提供します。幾何学を学ぶ学生、座標幾何学を扱うエンジニア、数学愛好家の方々にとって、この電卓は垂心の計算を即座に視覚化するのに役立ちます。

三角形の垂心とは何ですか？

三角形の垂心とは、3本すべての垂線が交わる点のことです。垂線とは、頂点から対辺（またはその延長線）に対して垂直に引いた線分です。垂心は、重心、外心、内心と並ぶ三角形の4つの古典的な三角形の中心の一つです。

垂心の公式

頂点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)、C(x₃, y₃) を持つ三角形において、垂心 H(Hx, Hy) は以下の垂直条件式系を解くことで求められます：

これにより、Hx と Hy を未知数とする2つの線形方程式系が得られ、クラメルの公式や代入法で解くことができます。

垂心はどこに位置しますか？

重心（常に内部にあります）とは異なり、垂心の位置は三角形の種類によって決まります：

• 鋭角三角形： 垂心は三角形の内部にあります。
• 直角三角形： 垂心は直角の頂点と一致します。
• 鈍角三角形： 垂心は三角形の外部、鈍角の反対側の辺を越えたところにあります。

オイラー線

正三角形ではない任意の三角形において、3つの重要な中心がオイラー線と呼ばれる直線上に並びます：

• 外心 (O) — 外接円の中心
• 重心 (G) — 質量の中心（中線の交点）
• 垂心 (H) — 垂線の交点

重心は線分 OH を外心から 1:2 の比率で分割します。つまり、OG:GH = 1:2 です。この強力な関係は、一見無関係に見える3つの三角形の性質を結びつけています。

この電卓の使い方

1. 座標を入力： 頂点 A、B、C の x および y の値を入力します。負の数や小数もサポートされています。
2. 精度を選択： 好みの小数点以下の桁数（2〜10）を選択します。
3. 「垂心を計算」をクリック： 垂心 H = (Hx, Hy) が詳細な内訳とインタラクティブな図と共に表示されます。
4. 図を確認： 三角形、色分けされた3本の垂線（直角マーク付き）、垂線の足、アニメーション表示された垂心、および H、G、O を結ぶオイラー線を確認できます。

垂心 vs 他の三角形の中心

垂心の性質

• 垂線の共点性： 任意の三角形の3本の垂線は常に一点（垂心）で交わります。これはチェバの定理の帰結です。
• オイラー線： H、G、O は一直線上にあります（これらが一致する正三角形を除きます）。
• 鏡映の性質： 任意の辺の中点に関して垂心を鏡映させると、外接円上に位置します。
• 垂心系： H が三角形 ABC の垂心である場合、各頂点は、他の2つの頂点と H によって形成される三角形の垂心となります。
• 距離の関係： 垂心から頂点までの距離は、外心から対辺までの距離の2倍に等しくなります（AH = 2·OMₐ）。

よくある質問

三角形の垂心とは何ですか？

垂心とは、三角形の3本の垂線が交わる点のことです。垂線とは、頂点から対辺への垂直な線分です。三角形の4つの古典的な中心の一つであり、オイラー線上にあります。

座標を使って三角形の垂心を求めるにはどうすればよいですか？

ドット積の条件 AH·BC = 0 および BH·AC = 0 を使用して、2つの垂直条件式を立てます。これにより得られる 2×2 の線形方程式系を、クラメルの公式などを用いて垂心の座標 (Hx, Hy) について解きます。この電卓はこれらの手順をすべて自動的に行います。

垂心は常に三角形の内部にありますか？

いいえ。垂心が内部にあるのは鋭角三角形のみです。直角三角形の場合は直角の頂点に、鈍角三角形の場合は三角形の外部にあります。これは三角形の中心の中でも垂心がユニークな点です。

オイラー線とは何ですか？

オイラー線とは、外心 (O)、重心 (G)、垂心 (H) の3つの三角形の中心を通る直線です。重心は線分 OH を O から 1:2 の比率で分割します。正三角形の場合、3つの点はすべて一致するため、固有の直線は存在しません。

垂心と重心の違いは何ですか？

垂心は3本の垂線（対辺に垂直な線）が交わる点であり、重心は3つの中線（対辺の中点への線）が交わる点です。重心は常に三角形の内部にあり、その質量の中心です。垂心は鈍角三角形の場合、外部にあることがあります。