QR分解電卓

QR分解電卓

QR分解電卓は、任意の行列 A を直交行列 Q と上三角行列 R の積に分解し、A = QR とします。2×2 から 5×5 までの行列（行数 ≧ 列数である非正方行列を含む）を入力すると、ステップバイステップの解答、インタラクティブなアニメーション、直交性の検証（QᵀQ = I）、および詳細な教育的解説とともに、完全なグラム・シュミットの直交化プロセスを確認できます。

QR分解とは？

QR分解（QR factorization とも呼ばれる）は、行列 A を次のように書き換えます：

$$A = QR$$

ここで、Q は直交行列（その列は QᵀQ = I を満たす正規直交ベクトル）、R は上三角行列です。m ≧ n かつフル列ランクを持つ m×n 行列の場合、経済的（Reduced）QR分解により、Q は m×n、R は n×n となります。

グラム・シュミット法の解説

A の列ベクトル a₁, a₂, …, aₙ が与えられたとき、古典的なグラム・シュミットアルゴリズムは正規直交ベクトル e₁, e₂, …, eₙ を生成します：

ステップ 1. u₁ = a₁ とし、正規化します：e₁ = u₁ / ‖u₁‖。

ステップ 2. 後続の各列 aⱼ について、それ以前のすべての eₖ への投影を差し引きます：

$$\mathbf{u}_j = \mathbf{a}_j - \sum_{k=1}^{j-1} (\mathbf{a}_j \cdot \mathbf{e}_k) \, \mathbf{e}_k$$

次に、正規化します：eⱼ = uⱼ / ‖uⱼ‖。

ステップ 3. 行列 Q は e₁, …, eₙ を列に持ちます。R は rᵢⱼ = eᵢ · aⱼ を要素とする上三角行列です。

この電卓の使い方

ステップ 1. 行列の次元（行数 × 列数）を設定します。QR分解を行うには、行数 ≧ 列数である必要があります。

ステップ 2. グリッドに値を入力するか、クイック例をクリックしてプリセットを読み込みます。移動には Tab キーや矢印キーを使用します。

ステップ 3. 「A = QR 分解」をクリックします。電卓がグラム・シュミット法を実行し、Q と R を表示します。

ステップ 4. グラム・シュミットのアニメーションを見て、各列がどのように直交化されるかを確認します：元のベクトル → 投影の減算 → 非正規化の結果 → 正規化された正規直交ベクトル。

ステップ 5. 結果を検証します：QR = A および QᵀQ = I（単位行列）であることを確認します。ステップナビゲーターを使用して、完全な導出過程を追うことができます。

QR分解の応用

QR と他の行列分解の比較

よくある質問

QR分解とは何ですか？

QR分解は、行列 A を直交行列 Q（列が正規直交）と上三角行列 R の積に分解する手法です。線形独立な列を持つすべての実行列は、R の対角成分を正に指定することで、一意の QR 分解が得られます。

グラム・シュミット法とは何ですか？

グラム・シュミット法は、線形独立なベクトルの集合を受け取り、同じ部分空間を張る正規直交集合を生成するアルゴリズムです。以前に計算されたすべての正規直交ベクトルへの投影を反復的に差し引き、残差を正規化することで機能します。

QR分解は正方行列以外でも機能しますか？

はい。m ≧ n である m×n 行列の場合、経済的（薄い）QR分解により、正規直交列を持つ m×n 行列 Q と、n×n の上三角行列 R が得られます。これは、特に最小二乗問題において実務で最も一般的に使用される形式です。

LU分解の代わりに QR分解を使用すべきなのはいつですか？

速度よりも数値的な安定性が重要な場合に使用します。例えば、悪条件の行列、最小二乗問題、または固有値計算などです。LU分解の方が高速（正方行列システムで約 2 倍）ですが、丸め誤差が増幅される可能性があります。QR分解は Q が直交行列であるため、ベクトルのノルムを保持します。

QR分解と SVD の違いは何ですか？

どちらも直交する因子を生成しますが、SVD は A を 3 つの行列（UΣVᵀ）に分解して特異値とランクを明らかにします。一方、QR分解は 2 つの行列（QR）に分解し、計算がより高速です。SVD はランク不足の問題や擬似逆行列の計算に適しており、QR はフルランクのシステムの解法や固有値アルゴリズムに適しています。