线性代数

用格拉姆-施密特过程将任意矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R。支持2x2到5x5矩阵,提供动画演示的分步正交化过程,并验证Q转置乘Q等于单位矩阵。

将任意矩阵化简为最简行阶梯形,附详细分步行变换。输入矩阵后逐步查看每次选主元、换行和消元,读出秩、零度、主元列、自由变量和解的类型。

将对称正定矩阵分解为 A = LLᵀ，并提供动画分步计算过程。查看下三角矩阵 L 的每个元素的完整推导公式，验证结果，并直观地探索矩阵分解。

使用克莱姆法则解2元或3元线性方程组。输入系数即可获得包含动画矩阵可视化、几何解释图形以及完整解题过程的行列式分步计算结果。

使用行简化法查找任何矩阵的列空间和基。分步查看每个行操作，包括主元列高亮、秩、维数以及 2D/3D 列空间交互式可视化。

计算任意2维、3维或n维向量方向上的单位向量，给出模长、每个归一化分量、方向角、分步归一化过程，以及结果长度为1的可视化证明。

用行列式公式计算两个三维向量的叉积。提供分步展开、垂直的结果向量、以平行四边形面积表示的模长、方向检验和三维可视化。

使用点积公式 cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) 计算两个二维 (2D) 或三维 (3D) 向量之间的夹角。获取逐步解题过程、角度和弧度结果、交互式向量图以及几何解释。

计算一个向量在另一个向量上的向量投影和标量投影。支持二维和三维向量，提供分步公式、交互式图表和正交分解。

计算2维、3维或n维向量的模（欧几里得范数）。给出分步计算过程，展示每个分量的平方、根号下的总和及最终平方根，附向量示意图。

计算二维、三维或更高维向量的点积。得到两向量间夹角、模长、标量和向量投影、几何意义,以及配有交互图示的分步公式。

免费在线向量计算器，提供逐步解题步骤。支持计算点积、叉积、模长、单位向量、向量间夹角、投影等，并带有交互式 3D 可视化功能。

计算任意矩阵的奇异值分解，将A分解为U、Σ和V转置。含分步解答、交互式3D可视化、秩分析、条件数及数据压缩应用示例。

计算两个矩形矩阵的张量积（也称为 Kronecker 积）。支持精确分数运算、分块可视化、结果复制以及符合 SEO 标准的线性代数原理解析。

使用格拉姆-施密特正交化过程对一组线性无关的向量进行正交规范化。获取分步投影细节、正交基与标准正交基、正交性校验以及交互式向量可视化。

计算 2x2 和 3x3 矩阵的特征值和特征向量，提供详细的分步解法、特征多项式推导、交互式可视化以及矩阵性质分析。

计算方阵的特征多项式 det(A − λI)。支持 2×2 到 6×6 矩阵，提供逐步代数余子式展开、特征值提取、系数分析和交互式多项式可视化。

计算任何方阵的带部分主元 LU 分解。通过逐步高斯消元法获取下三角矩阵 (L)、上三角矩阵 (U) 和置换矩阵 (P) 并进行验证。

通过详细的逐元素计算步骤进行两个矩阵相乘。查看分解后的每个点积，以及颜色编码的行 × 列可视化。支持最高 5×5 矩阵，具备交互式维度控制。

通过计算特征值、特征向量和分解式 A = PDP⁻¹ 来对角化方阵。支持 2×2 到 5×5 矩阵，提供分步解决方案、特征多项式、重数分析和交互式可视化。

计算方阵 A 的任意整数次幂 n。查看每一步乘法的动态演示、从 A¹ 到 Aⁿ 的中间矩阵、行列式和迹的属性，包含 MathJax 公式和交互式可视化。

计算矩阵指数e^(At),用作线性常微分方程组的状态转移矩阵。输入矩阵A、时间t和可选初始向量,得到x(t)、Pade缩放细节及相平面流动动画图。

使用高斯消元法（行阶梯形）计算任意矩阵的秩。获取分步行化简、主元分析、列空间和零空间维度以及视觉热图。支持高达 10×10 的矩阵。

通过分步解答计算矩阵运算：加法、减法、乘法、逆矩阵、转置和行列式。具有详细说明的可视化矩阵显示。

计算方阵的迹（对角线元素之和），验证其与特征值之和的相等性，探索矩阵迹的性质，并通过交互式热图可视化对角线。支持高达 10×10 的矩阵。

计算方阵的若尔当标准型及满足P逆AP=J的转换矩阵P。通过广义特征向量处理亏损、不可对角化的矩阵,配核链分析和分块图示。

计算任何正方矩阵的行列式，具有详细的逐步余子式展开、矩阵属性分析和可视化解决方案。

使用 Gauss-Jordan 消元法计算方阵的逆矩阵，提供详细的分步行操作。支持 2×2 到 6×6 矩阵，采用精确的分数运算，包含行列式计算和 A×A⁻¹=I 验证。

将有理函数分解为部分分式，提供详细的逐步解题方案、系数分析以及视觉化的分解过程。

计算向量值多元函数的雅可比矩阵。输入变换的各分量,得到每个偏导数、行列式、特征值、详细步骤及网格形变可视化。

通过高斯消元法求解 Ax = 0，在线查找任何矩阵的零空间（核）。获取基向量、零度、分步 RREF 化简过程，并使用精确的分数运算验证秩-零化度定理。