线性代数

MiniWebtool 的 QR 矩阵分解计算器使用 Gram–Schmidt 正交化，将受支持的 2×2 至 5×5 矩阵分解为 Q 和 R。动画步骤说明投影过程，并通过比较 QᵀQ 与单位矩阵检查正交性。

在 MiniWebtool 的 RREF 行最简形计算器中追踪矩阵化简。每个主元、换行和消元步骤都导向行最简形，并为增广矩阵提供秩、零度和解信息。

使用 MiniWebtool 的 Cholesky 分解计算器，将对称正定矩阵分解为 A = LLᵀ。工具逐步构造下三角因子，再将其与转置相乘，以验证是否还原输入矩阵。

使用 MiniWebtool 的克拉默法则计算器，通过行列式求解二元或三元线性方程组。系数和常数项可生成替换列步骤及行列式比值，适用于有唯一解的方程组。

使用 MiniWebtool 的矩阵列空间计算器求矩阵的值域。行化简确定主元列，对应的原矩阵列构成一组基；秩、零度和逐步行变换说明结果。

MiniWebtool 的单位向量计算器将非零向量除以其模长进行单位化。输入两个、三个或最多五十个分量即可查看单位向量及适用的方向角信息。

MiniWebtool 的叉积计算器可求出垂直于两个三维向量的向量。各分量可用于计算叉积、模长及相关夹角，并通过行列式展开和可旋转图示验证垂直关系。

使用 MiniWebtool 的向量夹角计算器，根据点积公式 cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) 计算两个 2D 或 3D 向量的夹角。可查看逐步解题过程、角度和弧度结果、交互式向量图以及几何解释。

使用 MiniWebtool 的向量投影计算器，计算一个向量在另一个向量上的向量投影和标量投影。支持 2D 和 3D 向量，并提供逐步公式、交互式图示和正交分解。

使用 MiniWebtool 的向量模计算器，计算 2D、3D 或 n 维向量的模（即欧几里得范数）。通过逐步运算查看每个分量的平方、根号内的和及最终平方根，并查看向量图。

MiniWebtool 的点积计算器将成对的向量分量乘积相加，支持二维、三维或更高维度。标量结果还可附带模长、夹角和投影（若有定义），并提供步骤及向量图。

MiniWebtool 的向量计算器是一款免费的在线工具，可逐步求解点积、叉积、模、单位向量、向量夹角、投影等，并提供交互式 3D 可视化。

MiniWebtool 的奇异值分解（SVD）计算器将最大 10×10 实矩阵分解为 U、Σ 和 V 转置，并提供秩和条件数以评估其数值结构。

使用 MiniWebtool 的张量积计算器求 Kronecker 积。两个矩形矩阵生成精确分数结果，并逐块可视化及提供可复制输出，说明每个元素如何展开第二个矩阵。

使用 MiniWebtool 的 Gram-Schmidt 正交化计算器，逐步查看每个投影过程。输入线性无关向量即可得到正交和标准正交基，并查看中间计算及检验结果，了解所得向量之间的关系。

MiniWebtool 的特征值与特征向量计算器用于寻找矩阵的不变方向。输入 2×2 或 3×3 矩阵即可求特征值及相应特征向量，并查看特征多项式推导和变换几何图示。

使用 MiniWebtool 的特征多项式计算器求 det(λI − A)。输入 2×2 至 6×6 的方阵，即可得到展开和因式分解形式的多项式、含重数的特征值及矩阵运算步骤。

MiniWebtool 的矩阵 LU 分解计算器使用部分主元法，将最大 8×8 方阵分解。下三角、上三角和置换矩阵展示消元与换行如何组合还原原矩阵。

使用 MiniWebtool 的矩阵乘法计算器，逐项查看每行与每列的点积。输入两个兼容的最大 5×5 矩阵，即可查看乘积及用于计算各元素的具体算式。

使用 MiniWebtool 的矩阵对角化计算器，通过计算特征值、特征向量和分解 A = PDP⁻¹ 对方阵进行对角化。支持 2×2 至 5×5 矩阵，并提供逐步解题、特征多项式、重数分析和交互式可视化。

MiniWebtool 的矩阵幂计算器将方阵提升至选定整数次幂。中间步骤和矩阵性质背景有助于理解重复乘法；负次幂要求矩阵可逆。

使用矩阵指数分析线性微分系统。MiniWebtool 的矩阵指数计算器可计算 e^(At)，并可将结果作用于初始向量，同时提供数值方法细节和相平面流场图。

使用 MiniWebtool 的矩阵秩计算器，确定线性无关行或列的数量。工具支持最大 10×10 矩阵，并展示行阶梯化过程以及列空间和零空间的维数。

使用 MiniWebtool 的矩阵计算器进行常见矩阵运算。加、减、乘、转置、行列式和逆矩阵计算均配有结构化矩阵显示及步骤说明，展示各个元素如何得出。

矩阵的迹是方阵主对角线上元素之和。MiniWebtool 的矩阵迹计算器会突出显示最大 10×10 矩阵中的这些元素，并将总和与特征值之和比较。

有些矩阵无法对角化，但可以用 Jordan 块表示。MiniWebtool 的 Jordan 标准形计算器可计算 J 和变换矩阵 P，说明广义特征向量链，并显示块结构。

MiniWebtool 的行列式计算器求方阵的行列式，并说明余子式展开过程。输入矩阵即可查看行列式及其对矩阵奇异性等性质的指示意义。

使用 MiniWebtool 的矩阵求逆计算器，求 2×2 至 6×6 方阵的逆。Gauss–Jordan 消元过程和行列式用于说明可逆性；再与结果相乘可检查是否得到单位矩阵。

使用 MiniWebtool 的部分分式分解计算器，将有理表达式拆分为更简单的项。系数计算及图示分解说明各分式如何组合还原为原函数。

MiniWebtool 的雅可比矩阵计算器将向量值函数的偏导数排列成矩阵。输入最多六个分量和变量即可查看推导步骤，并在适用时计算行列式和特征值。

MiniWebtool 的零空间计算器求出所有满足 Ax = 0 的向量所构成的基。精确分数行化简可显示自由变量，并通过零度和秩－零度检验关联解集与矩阵维度。