线性代数

用格拉姆-施密特过程将任意矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R。支持2x2到5x5矩阵,提供动画演示的分步正交化过程,并验证Q转置乘Q等于单位矩阵。

将任意矩阵化简为最简行阶梯形,附详细分步行变换。输入矩阵后逐步查看每次选主元、换行和消元,读出秩、零度、主元列、自由变量和解的类型。

将对称正定矩阵分解为 A = LLᵀ，并提供动画分步计算过程。查看下三角矩阵 L 的每个元素的完整推导公式，验证结果，并直观地探索矩阵分解。

用克拉默法则求解二元或三元线性方程组。输入系数，查看行列式计算步骤、矩阵动画及几何图解。

通过矩阵行化简求列空间的一组基，逐步查看初等行变换、主元列、秩和维数，并探索二维或三维图示。

输入二维、三维或更长的向量，最多 50 维，得到它的模、单位向量和方向角。

输入两个三维向量的坐标，计算叉积、垂直向量和平行四边形面积，并逐步展开行列式。

使用点积公式 cos(θ) = (a·b)/(|a||b|) 计算两个二维 (2D) 或三维 (3D) 向量之间的夹角。获取逐步解题过程、角度和弧度结果、交互式向量图以及几何解释。

计算一个向量在另一个向量上的向量投影和标量投影。支持二维和三维向量，提供分步公式、交互式图表和正交分解。

计算2维、3维或n维向量的模（欧几里得范数）。给出分步计算过程，展示每个分量的平方、根号下的总和及最终平方根，附向量示意图。

输入二维、三维或最高 50 维的两个向量，得到点积、夹角，以及标量投影和向量投影。

免费在线向量计算器，提供逐步解题步骤。支持计算点积、叉积、模长、单位向量、向量间夹角、投影等，并带有交互式 3D 可视化功能。

输入最大 10×10 的矩阵，得到 U、Sigma 和 V 的转置，以及秩和条件数。

计算两个矩阵的克罗内克积，支持精确分数运算、分块图示和结果复制，并解释相关线性代数原理。

使用格拉姆-施密特正交化过程对一组线性无关的向量进行正交规范化。获取分步投影细节、正交基与标准正交基、正交性校验以及交互式向量可视化。

输入 2×2 或 3×3 矩阵，得到特征值和特征向量、特征多项式，以及解题步骤。

计算方阵的特征多项式 det(A − λI)。支持 2×2 到 6×6 矩阵，提供逐步代数余子式展开、特征值提取、系数分析和交互式多项式可视化。

输入最大 8x8 的方阵，用带部分选主元的高斯消元，得到下三角矩阵 L、上三角矩阵 U 和置换矩阵 P。

计算两个最大 5x5 矩阵的乘积，逐步给出每个元素，并按行乘列拆解。

通过计算特征值、特征向量和分解式 A = PDP⁻¹ 来对角化方阵。支持 2×2 到 5×5 矩阵，提供分步解决方案、特征多项式、重数分析和交互式可视化。

计算方阵 A 的任意整数次幂 n。查看每一步乘法的动态演示、从 A¹ 到 Aⁿ 的中间矩阵、行列式和迹的属性，包含 MathJax 公式和交互式可视化。

计算矩阵指数e^(At),用作线性常微分方程组的状态转移矩阵。输入矩阵A、时间t和可选初始向量,得到x(t)、Pade缩放细节及相平面流动动画图。

输入最大 10×10 的矩阵，由行阶梯形得到秩，以及列空间和零空间的维数。

通过分步解答计算矩阵运算：加法、减法、乘法、逆矩阵、转置和行列式。具有详细说明的可视化矩阵显示。

计算方阵的迹（对角线元素之和），验证其与特征值之和的相等性，探索矩阵迹的性质，并通过交互式热图可视化对角线。支持高达 10×10 的矩阵。

计算方阵的若尔当标准形 J 和满足 P⁻¹AP = J 的变换矩阵 P。通过广义特征向量处理不可对角化的矩阵，查看核空间链分析与分块图示。

输入最大 10×10 的方阵，用余子式展开求行列式，并给出步骤和矩阵性质。

输入 2x2 到 6x6 的方阵，用高斯-若尔当消元得到逆矩阵和行列式，并检验 A 乘以 A^-1 是否为单位矩阵 I。

将有理函数分解为部分分式，提供详细的逐步解题方案、系数分析以及视觉化的分解过程。

输入函数分量和变量（最多各 6 个），计算雅可比矩阵、行列式、特征值，并给出演算步骤。

输入矩阵，得到 Ax = 0 的一组解基、零化度、行化简步骤，以及用精确分数做的秩-零化度核对。