Arkussinus-Rechner

Willkommen beim Arkussinus-Rechner, einem leistungsstarken Online-Tool zur Berechnung des inversen Sinus (arcsin oder sin^-1) eines beliebigen Wertes. Geben Sie eine Zahl zwischen -1 und 1 ein und erhalten Sie sofort den entsprechenden Winkel in Grad oder Bogenmaß. Dieser Rechner bietet Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit (bis zu 1000 Dezimalstellen), eine interaktive Einheitskreis-Visualisierung, Schritt-für-Schritt-Lösungen und umfassende Erklärungen zu inversen trigonometrischen Konzepten.

Was ist der Arkussinus (inverser Sinus)?

Der Arkussinus, auch als arcsin(x), asin(x) oder sin^-1(x) geschrieben, ist die Umkehrfunktion des Sinus. Während die Sinusfunktion einen Winkel aufnimmt und ein Verhältnis zurückgibt, macht der Arkussinus das Gegenteil: Er nimmt ein Verhältnis (einen Wert zwischen -1 und 1) und liefert den Winkel zurück, dessen Sinus gleich diesem Verhältnis ist.

Mathematisch gilt: Wenn sin(θ) = x, dann ist arcsin(x) = θ. Das Ergebnis wird als Hauptwert bezeichnet und liegt immer im Bereich [-90°, 90°] bzw. [-π/2, π/2] Bogenmaß.

Warum ist der Arkussinus nur für [-1, 1] definiert?

Die Sinusfunktion bildet jeden Winkel auf einen Wert zwischen -1 und 1 ab. Unabhängig vom eingegebenen Winkel liefert sin(θ) immer ein Ergebnis im Bereich [-1, 1]. Da der Arkussinus die Umkehroperation ist, kann er nur Werte akzeptieren, die tatsächlich Ausgaben der Sinusfunktion sein könnten.

Wenn Sie versuchen, arcsin(2) oder arcsin(-1,5) zu berechnen, gibt es keinen reellen Winkel, dessen Sinus diesen Werten entspricht, sodass das Ergebnis undefiniert wäre (oder komplex in der höheren Mathematik).

Den Hauptwert verstehen

Die Sinusfunktion ist nicht injektiv – viele verschiedene Winkel haben denselben Sinuswert. Zum Beispiel ist sin(30°) = sin(150°) = 0,5. Um den Arkussinus zu einer eindeutigen Funktion zu machen (ein Ausgabewert pro Eingabewert), beschränken Mathematiker die Ausgabe auf den Hauptwertebereich: [-90°, 90°] bzw. [-π/2, π/2].

Dieser Bereich deckt ab:

• Positive Winkel (0° bis 90°): I. Quadrant, in dem sowohl x- als auch y-Koordinaten positiv sind
• Negative Winkel (-90° bis 0°): IV. Quadrant, in dem x positiv und y negativ ist

Gängige Arkussinus-Werte (Spezielle Winkel)

Diese Werte treten in der Trigonometrie häufig auf und sind es wert, auswendig gelernt zu werden:

Eingabe (x)	arcsin(x) in Grad	arcsin(x) in Bogenmaß
-1	-90°	-π/2
-√3/2 ≈ -0,866	-60°	-π/3
-√2/2 ≈ -0,707	-45°	-π/4
-1/2	-30°	-π/6
0	0°	0
1/2	30°	π/6
√2/2 ≈ 0,707	45°	π/4
√3/2 ≈ 0,866	60°	π/3
1	90°	π/2

Allgemeine Lösung: Alle Winkel finden

Während der Arkussinus Ihnen einen Winkel (den Hauptwert) liefert, gibt es unendlich viele Winkel mit demselben Sinuswert. Die vollständige Lösungsmenge ist gegeben durch:

Die erste Formel fügt dem Hauptwert volle Umdrehungen hinzu (2π Bogenmaß = 360°). Die zweite Formel nutzt die Tatsache, dass sin(π - θ) = sin(θ) gilt, was den Supplementwinkel im II. Quadranten liefert.

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Sinuswert eingeben: Geben Sie eine beliebige Zahl von -1 bis 1 ein. Dies kann ein einfacher Bruch wie 0,5, eine dezimale Näherung wie 0,707 oder ein exakter Wert sein.
2. Ausgabeeinheit wählen: Wählen Sie, ob Sie das Ergebnis in Grad oder Bogenmaß wünschen. Grad ist im Alltag gebräuchlicher, während Bogenmaß der Standard in Analysis und Physik ist.
3. Genauigkeit festlegen: Geben Sie Dezimalstellen an (1-1000). Standardgenauigkeit (10 Stellen) reicht für die meisten Anwendungen aus.
4. Auf Berechnen klicken: Sehen Sie Ihr Ergebnis mit der Einheitskreis-Visualisierung, der Schritt-für-Schritt-Lösung und den Werten in Grad und Bogenmaß.

Arkussinus auf dem Einheitskreis

Der Einheitskreis bietet ein visuelles Verständnis des Arkussinus. Für jeden Punkt (cos(θ), sin(θ)) auf dem Einheitskreis entspricht die y-Koordinate sin(θ). Wenn Sie arcsin(x) berechnen, finden Sie den Winkel θ, an dem die horizontale Linie y = x den Einheitskreis im Hauptwertebereich (rechte Kreishälfte) schneidet.

Wichtige Beobachtungen:

• Der Sinuswert entspricht der y-Koordinate auf dem Einheitskreis
• arcsin(x) liefert den von der positiven x-Achse gemessenen Winkel
• Positive Ergebnisse sind Winkel in der oberen Hälfte (I. Quadrant)
• Negative Ergebnisse sind Winkel in der unteren Hälfte (IV. Quadrant)

Beziehung zu anderen inversen Winkelfunktionen

Der Arkussinus ist eine von drei primären inversen trigonometrischen Funktionen:

• arcsin(x): Liefert den Winkel aus dem Sinuswert, Bereich [-π/2, π/2]
• arccos(x): Liefert den Winkel aus dem Kosinuswert, Bereich [0, π]
• arctan(x): Liefert den Winkel aus dem Tangenswert, Bereich (-π/2, π/2)

Eine nützliche Identität, die Arkussinus und Arkkosinus verbindet: arcsin(x) + arccos(x) = π/2 für alle x in [-1, 1].

Anwendungen des Arkussinus

Physik und Ingenieurwesen

Der Arkussinus taucht bei Berechnungen zu Wellenbewegungen, Projektilbewegungen und Optik auf. Zum Beispiel kann das Snelliussche Brechungsgesetz mit dem Arkussinus gelöst werden, um den Brechungswinkel zu finden.

Navigation und Astronomie

Die Berechnung von Positionen, Höhenwinkeln und Entfernungen erfordert oft inverse trigonometrische Funktionen einschließlich des Arkussinus.

Computergrafik

Rotationsberechnungen, Raytracing und 3D-Transformationen verwenden häufig den Arkussinus, um zwischen Koordinaten und Winkeln umzurechnen.

Signalverarbeitung

Phasenwinkelberechnungen in Wechselstromkreisen und Signalanalysen beinhalten den Arkussinus bei der Arbeit mit Sinuswellen.

Ableitung und Integral des Arkussinus

Für Anwendungen in der Analysis:

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Arkussinus (inverser Sinus)?

Der Arkussinus, geschrieben als arcsin(x) oder sin^-1(x), ist die Umkehrfunktion des Sinus. Für einen Wert x zwischen -1 und 1 liefert der Arkussinus den Winkel θ, dessen Sinus gleich x ist. Der Hauptwert liegt immer zwischen -90° und 90° (oder -π/2 und π/2 Bogenmaß).

Warum ist der Arkussinus nur für Werte zwischen -1 und 1 definiert?

Die Sinusfunktion kann unabhängig vom Eingabewinkel nur Werte im Bereich [-1, 1] ausgeben. Da der Arkussinus die Umkehrung des Sinus ist, kann er nur Eingaben akzeptieren, die gültige Sinuswerte sind. Jede Zahl außerhalb von [-1, 1] kann nicht der Sinus eines reellen Winkels sein, daher ist der Arkussinus für solche Eingaben undefiniert.

Was ist der Unterschied zwischen Arkussinus in Grad und Bogenmaß?

Grad und Bogenmaß sind zwei verschiedene Einheiten zur Messung von Winkeln. Eine volle Drehung entspricht 360° oder 2π Bogenmaß. Um von Bogenmaß in Grad umzurechnen, multipliziert man mit 180/π. Zum Beispiel ist arcsin(0,5) = 30° = π/6 Bogenmaß. Beide stellen denselben Winkel dar, nur in verschiedenen Einheiten.

Welche gängigen Arkussinus-Werte sollte ich kennen?

Gängige Arkussinus-Werte sind: arcsin(0) = 0°, arcsin(1/2) = 30°, arcsin(√2/2) = 45°, arcsin(√3/2) = 60°, arcsin(1) = 90°. Negative Eingaben ergeben negative Winkel: arcsin(-1/2) = -30° usw. Diese leiten sich von den speziellen Winkeln des Einheitskreises ab.

Wie finde ich alle Winkel mit demselben Sinuswert?

Wenn θ₀ der Hauptwert (aus dem Arkussinus) ist, sind alle Winkel mit demselben Sinus: θ = θ₀ + 2πk oder θ = (π - θ₀) + 2πk, für jede ganze Zahl k. Dies liegt daran, dass der Sinus sowohl im I. als auch im II. Quadranten positiv ist und sich das Muster alle 2π Bogenmaß (360°) wiederholt.

Was ist der Wertebereich des Hauptwerts beim Arkussinus?

Der Hauptwert des Arkussinus ist definiert für das Intervall [-π/2, π/2] Bogenmaß oder [-90°, 90°]. Diese Einschränkung stellt sicher, dass der Arkussinus eine eindeutige Funktion ist (ein Ausgabewert für jeden Eingabewert). Der Bereich deckt Winkel im I. Quadranten (positiv) und im IV. Quadranten (negativ) ab.

Zusätzliche Ressourcen

• Arkussinus - Wikipedia
• Inverser Sinus - Wolfram MathWorld