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模乘逆元計算機
什麼是模乘逆元？
整數 a 對於模數 m 的模乘逆元是指在 [0, m-1] 範圍內的一個整數 x，使得：
\( a \cdot x \equiv 1 \pmod{m} \)
它被寫作 a⁻¹ (mod m)，類似於普通算術中的乘法逆元（即 1/a），但應用於模運算領域。
關鍵條件： 逆元存在的當且僅當 gcd(a, m) = 1 — 也就是說，a 和 m 必須互質。
如何計算：擴展歐幾里得演算法
最有效的方法是使用擴展歐幾里得演算法。它能找到滿足貝祖等式的整數 x 和 y：
\( a \cdot x + m \cdot y = \gcd(a, m) = 1 \)
當 gcd(a, m) = 1 時，對等式兩邊取模 m 得到 a·x ≡ 1 (mod m)，因此 x 即為模逆元。
範例： 求 3⁻¹ (mod 7)：
擴展 GCD 給出：3·(5) + 7·(-2) = 15 − 14 = 1，因此 3⁻¹ ≡ 5 (mod 7)。驗證：3 × 5 = 15 = 2×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓
在密碼學與數學中的應用
RSA 加密
根據公鑰指數 e 尋找私鑰 d = e⁻¹ (mod φ(n))
Diffie-Hellman
基於模運算中離散對數的金鑰交換協議
仿射密碼
解密時使用 a⁻¹ (mod 26) 來反轉加密金鑰
CRT 與數論
中國剩餘定理及求解線性同餘方程 ax ≡ b (mod m)
橢圓曲線
ECC 中的點加法公式需要模逆元來計算斜率
模分數
當 gcd(b, m) = 1 時，將 a/b (mod m) 計算為 a · b⁻¹ (mod m)
常見問題解答
問：為什麼逆元不總是存在？
因為模運算是「循環」的，a 的某些倍數可能永遠無法達到模 m 餘 1 的狀態。這種情況恰好發生在 a 和 m 有公因數時，即 gcd(a, m) > 1。
問：質數模數有公式嗎？
有的！如果 m 是質數且 a 不是 m 的倍數，費馬小定理給出：
a⁻¹ ≡ am-2 (mod m)。這在競技程式設計中經常被使用。
問：結果是唯一的嗎？
是的，結果在模 m 下是唯一的。我們通常回報 [0, m-1] 範圍內的標準結果。其他有效的逆元為 x + km（k 為任何整數），但它們在模 m 下都是等價的。
問：如果 a 是負數怎麼辦？
該演算法可以處理負整數。在內部，我們會先計算 a (mod m) 以獲得一個非負的代表數，然後尋找其逆元。結果始終在 [0, m-1] 範圍內。
引用此內容、頁面或工具為：
"模乘逆元計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw//，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/
由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026年2月18日
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