反餘弦 (Arccos) 計算機

反餘弦 (Arccos) 計算機

反餘弦計算機可以計算 -1 到 1 之間任何值的反餘弦 (arccos)。輸入餘弦值即可立即以角度或弧度形式找到對應的角度，並附帶交互式單位圓可視化、逐步解決方案以及高達 1000 位小數精度的結果。

什麼是反餘弦 (Inverse Cosine)？

反餘弦，記作 arccos(x) 或 cos⁻¹(x)，是餘弦函數的反函數。給定一個值 x，反餘弦返回餘弦值等於 x 的角度 θ。用數學術語表示：

例如，arccos(0.5) = 60°，因為 cos(60°) = 0.5。當您在直角三角形中知道鄰邊與斜邊的比率時，該函數對於在三角學、幾何學、物理學和工程學中查找角度至關重要。

反餘弦的定義域和值域

定義域限制的存在是因為餘弦值始終介於 -1 和 1 之間。值域限制在 [0, π] 內以確保反餘弦是一個函數，每個輸入只有一個輸出。該區間稱為主值範圍。

特殊角度參考

某些角度具有精確的反餘弦值，記住這些值很重要。這些特殊角度經常出現在數學、物理和工程中：

• arccos(1) = 0° = 0
• arccos(√3/2) = 30° = π/6
• arccos(√2/2) = 45° = π/4
• arccos(1/2) = 60° = π/3
• arccos(0) = 90° = π/2
• arccos(-1/2) = 120° = 2π/3
• arccos(-√2/2) = 135° = 3π/4
• arccos(-√3/2) = 150° = 5π/6
• arccos(-1) = 180° = π

單位圓與反餘弦

單位圓提供了反餘弦的幾何解釋。對於單位圓上的一個點 (x, y)：

• x 坐標等於 cos(θ)，其中 θ 是與正 x 軸的角度
• 給定餘弦值 x，arccos(x) 在圓的上半部分（其中 y ≥ 0）找到角度 θ
• 這解釋了為什麼反餘弦返回 [0, π] 中的值 - 這些是上半圓的角度

cos(θ) = x 的通解

雖然反餘弦給出了 [0, π] 中的主值 θ₀，但由於餘弦的週期性和對稱性，存在無數個具有相同餘弦值的角度：

這裡，k 是任何整數。± 考慮了餘弦的偶對稱性：cos(θ) = cos(-θ)。2πk（或 360°k）考慮了餘弦的週期性。

如何使用此計算機

1. 輸入餘弦值：輸入 -1 到 1 之間的任何數字。您可以鍵入像 0.707 這樣的十進制值，或使用快速示例按鈕獲取常用值。
2. 選擇輸出單位：為日常應用選擇角度，或為微積分和物理計算選擇弧度。
3. 設置精度：根據您的精度需求指定小數位數 (1-1000)。科學工作可能需要更高的精度。
4. 計算：單擊按鈕以查看角度、逐步解決方案、單位圓可視化以及兩種單位轉換。
5. 查看通解：找到共享相同餘弦值的所有角度。

角度與弧度之間的轉換

此計算機提供角度和弧度兩種結果。要手動轉換：

• 弧度轉角度：乘以 180/π（約 57.2958）
• 角度轉弧度：乘以 π/180

與其他反三角函數的關係

反三角函數通過重要的恆等式相關聯：

• 對於 [-1, 1] 中的所有 x，arccos(x) + arcsin(x) = π/2 (或 90°)
• arccos(-x) = π - arccos(x) (反射性質)
• 對於 [-1, 1] 中的所有 x，cos(arccos(x)) = x
• 當 θ 在 [0, π] 內時，arccos(cos(θ)) = θ

反餘弦的應用

幾何與三角學

當您知道邊長時，反餘弦用於查找三角形中的角度。使用餘弦定理，當所有三條邊都已知時，您可以找到任何角度。

物理學

在物理學中，反餘弦出現在計算向量之間的角度（使用點積公式）、分析拋體運動以及研究波的干涉模式中。

計算機圖形學

3D 圖形編程使用反餘弦來計算光照角度、確定表面方向以及在不同方向之間製作旋轉動畫。

導航與地理

球面餘弦定律使用反餘弦來計算地球上各點之間的大圓距離，這對導航和地圖製作至關重要。

常見問題解答

什麼是反餘弦 (arccos)？

反餘弦，記作 arccos(x) 或 cos⁻¹(x)，是餘弦函數的反函數。它返回餘弦值等於 x 的角度。例如，arccos(0.5) = 60°，因為 cos(60°) = 0.5。該函數定義在 -1 到 1 之間的輸入，並返回 [0°, 180°] 或 [0, π] 弧度範圍內的角度。

反餘弦的定義域和值域是什麼？

反餘弦的定義域是 [-1, 1]，這意味著您只能輸入介於 -1 到 1 之間（含）的值。值域（輸出）是 [0, π] 弧度或 [0°, 180°]。這個受限的範圍確保了反餘弦是一個函數，每個輸入只有一個輸出。

反餘弦的特殊角度有哪些？

具有精確反餘弦值的特殊角度包括：arccos(1) = 0°，arccos(√3/2) = 30°，arccos(√2/2) = 45°，arccos(1/2) = 60°，arccos(0) = 90°，arccos(-1/2) = 120°，arccos(-√2/2) = 135°，arccos(-√3/2) = 150° 以及 arccos(-1) = 180°。

如何將反餘弦從弧度轉換為角度？

要將弧度轉換為角度，請乘以 180/π（約 57.2958）。例如，π/3 弧度 × (180/π) = 60°。相反，要將角度轉換為弧度，請乘以 π/180。此計算機會自動提供兩種單位的結果。

cos(θ) = x 的通解是什麼？

如果 θ₀ = arccos(x) 是主值，則 cos(θ) = x 的所有解由 θ = ±θ₀ + 2πk（弧度）或 θ = ±θ₀ + 360°k（角度）給出，其中 k 是任何整數。這考慮了餘弦函數的週期性和對稱性。

其他資源

有關反三角函數的更多信息：

• 反三角函數 - 維基百科
• 反餘弦 - Wolfram MathWorld

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