線積分計算機

線積分計算機

線積分計算機は、2Dおよび3D空間における媒介変数曲線に沿ったスカラー線積分 \(\int_C f\,ds\) とベクトル線積分 \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) の両方を評価します。場、媒介変数方程式、およびパラメータの範囲を入力すると、記号的な結果、弧の長さの計算、およびアニメーション化された曲線の視覚化を含む完全なステップごとの解説が表示されます。

線積分の公式

線積分計算機の使い方

1. 積分の種類を選択します。 スカラー線積分の場合は「∫f ds」、ベクトル（仕事/循環）線積分の場合は「∫F·dr」を選択します。
2. 次元を選択します。 曲線と場に合わせて 2D または 3D を選択します。
3. 場を入力します。 スカラー積分の場合は、関数 f(x, y) または f(x, y, z) を入力します。ベクトル積分の場合は、各成分 P、Q、R を入力します。
4. 媒介変数曲線を定義します。 x(t)、y(t)、および必要に応じて z(t) を入力します。標準的な数学記法（cos(t)、t^2、sin(t) など）を使用してください。
5. 範囲を設定します。 t の開始値と終了値を入力します。pi や 2*pi などの式を使用できます。
6. 「計算」をクリックして、ステップごとの解説、数値結果、弧の長さ、および曲線のアニメーションを確認します。

一般的な媒介変数曲線

結果の見方

電卓は結果として以下の情報を提供します：

• 積分値: 可能な場合は正確な記号解と、その数値近似値。
• 弧の長さ: \(\int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt\) として計算される曲線の全長。
• 速度 |r'(t)|: 弧の長さの要素として機能する速度ベクトルの大きさ。
• 保存場チェック: ベクトル積分の場合、電卓は ∇×F = 0（場が保存場であるか）をチェックします。保存場は経路に依存しない積分を持ちます。
• 曲線の視覚化: 媒介変数曲線のアニメーションプロット。移動する点が経路をたどり、進行方向を示します。

よくある質問

線積分とは何ですか？

線積分は、曲線に沿った関数の積分を計算するものです。スカラー場の場合、弧の長さで重み付けされた f の値を合計します（∫f ds）。ベクトル場の場合、接線方向に沿った F の成分を合計し（∫F·dr）、多くの場合、力場によって行われる仕事として解釈されます。

スカラー線積分とベクトル線積分の違いは何ですか？

スカラー線積分 ∫_C f ds は、弧の長さの要素 ds で重み付けされたスカラー関数 f を曲線に沿って積分し、経路に沿った f の総蓄積値を与えます。ベクトル線積分 ∫_C F·dr は、接線ベクトル dr との内積をとることによって曲線に沿ってベクトル場 F を積分し、F が曲線の方向にどれだけ押しているかを測定します。スカラー積分は質量や平均値の問題に使用され、ベクトル積分は仕事や循環の計算に使用されます。

線積分のために曲線をどのように媒介変数表示しますか？

媒介変数曲線 r(t) は、各座標を単一のパラメータ t の関数として表します。例えば、半径 R の円は、t を 0 から 2π として、x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t) と媒介変数表示されます。その後、線積分の公式によって、曲線積分は t に関する標準的な定積分に変換されます。

ベクトル線積分が経路に依存しないのはどのような時ですか？

ベクトル場 F が保存力場であるとき、つまり単連結領域のいたるところで回転（curl）がゼロであるとき、ベクトル線積分は経路に依存しません。その場合、 F はポテンシャル関数 φ の勾配に等しく、積分値は特定の経路ではなく、端点での φ の値のみに依存します。この電卓は自動的にこの条件をチェックします。

線積分の物理的な意味は何ですか？

物理的には、スカラー線積分は密度が変化する針金の質量や、経路に沿った総熱量を表すことができます。ベクトル線積分は一般に、曲線に沿って移動する粒子に対して力場が行う仕事や、ループの周りの流体速度場の循環を表します。電磁気学では、アンペールの法則やファラデーの法則に線積分が登場します。

この電卓はどのような数学記法を受け付けますか？

標準的な数学記法を使用してください：指数には ^ (x^2)、乗算には * (2*x ですが、2x のような暗黙の乗算も機能します)、および sin, cos, tan, exp, log, sqrt などの標準的な関数名です。パラメータの範囲には、pi、2*pi、または数値を入力できます。