正弦定理電卓

正弦定理電卓

正弦定理電卓へようこそ。このオンラインツールでは、正弦定理を用いて三角形の未知の辺や角を求めることができます。ASA（角-辺-角）、AAS（角-角-辺）、さらに二つの解が生じ得るSSA（辺-辺-角）の曖昧なケースにも対応し、丁寧なステップ解説とインタラクティブな図で理解をサポートします。

正弦定理とは？

正弦定理は、三角形の各辺とその対角の正弦の比が等しいことを表す、三角法の基本定理です。次のように書けます。

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

ここで、$a$, $b$, $c$ はそれぞれ角 $A$, $B$, $C$ に対する辺の長さです。

本ツールの主な特徴

• 複数ケース対応：ASA、AAS、SSA の三角形を解くことができます。
• SSAの曖昧さ判定：SSAケースで解が0個・1個・2個のいずれになるかを自動的に判定します。
• 角度単位の切り替え：度数法（degrees）と弧度法（radians）の両方に対応。
• ステップ解説：各計算ステップを数式付きで分かりやすく表示します。
• 図による可視化：求めた辺と角に基づいて三角形をキャンバス上に描画します。
• 入力チェック：不可能な条件や矛盾した入力に対して、分かりやすいエラーメッセージを表示します。

三角形の各ケースを理解する

ASA（角-辺-角）

二つの角と、その間に挟まれた一辺が分かっている場合、三角形は一意に決まります。まず三つ目の角を求め、その後正弦定理で残りの辺を計算します。

• 与えられるもの：角 $A$、角 $C$、それらに挟まれた辺 $b$
• 求めるもの：角 $B$、辺 $a$、辺 $c$
• 解：常に1つ

AAS（角-角-辺）

二つの角と、どこかの一辺（挟角でなくても可）が分かっている場合、三角形の残りの要素はすべて求められます。

• 与えられるもの：角 $A$、角 $B$、辺 $a$
• 求めるもの：角 $C$、辺 $b$、辺 $c$
• 解：常に1つ

SSA（辺-辺-角） – 曖昧なケース

二つの辺と、そのうち一方に対する角が分かっている場合（SSA）は、条件によって次のような状況が起こり得ます。

• 解なし：三角形が存在しない。
• 一意解：三角形が1つだけ存在する。
• 二意解：異なる2つの三角形が存在する（SSAの曖昧さ）。

与えられるもの：辺 $a$、辺 $b$、角 $A$。

どのケースになるかは、与えられた値の関係によって決まります。本ツールはこの判定を自動で行い、該当するすべての解を表示します。

正弦定理電卓の使い方

1. ケースの選択：プルダウンから ASA、AAS、SSA のいずれかを選びます。
2. 角度単位の選択：度（degrees）かラジアン（radians）を選びます。
3. 値の入力：
   • ASA：入力1 = 角A、入力2 = 辺b、入力3 = 角C
   • AAS：入力1 = 角A、入力2 = 角B、入力3 = 辺a
   • SSA：入力1 = 辺a、入力2 = 辺b、入力3 = 角A
4. 「計算」ボタンを押す：結果とステップ解説が表示されます。
5. 描画された三角形とステップ解説を確認し、解の意味を理解します。

正弦定理の応用例

正弦定理は次のような分野で利用されています。

• 航法・測量：三点測量による位置・距離の決定。
• 天文学：天体までの距離の計算。
• 土木・建築：構造物の角度・長さの設計と解析。
• 物理：ベクトル分解や力の合成・分解。
• コンピュータグラフィックス：3D モデリングやレンダリング計算。

数学的背景

正弦定理は、三角形の面積の公式から導くことができます。面積を $K$ とすると、次のように書けます。

$$K = \frac{1}{2}ab\sin(C) = \frac{1}{2}bc\sin(A) = \frac{1}{2}ac\sin(B)$$

これらの式を等式で結び整理すると、正弦定理 $$\dfrac{a}{\sin(A)} = \dfrac{b}{\sin(B)} = \dfrac{c}{\sin(C)}$$ が得られます。

重要な性質

• 任意の三角形において、内角の和は常に $180°$（または $\\pi$ ラジアン）です。
• 最大の辺は最大の角に、最小の辺は最小の角にそれぞれ対向します。

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