電場計算機

この 電場計算機 は、1つまたは複数の点電荷によって生成される電場の強さを計算するツールです。単一のソース電荷の場合は \( E = k_{e}\,q / (\varepsilon_{r}\, r^{2}) \)、複数電荷の問題では完全な ベクトル重ね合わせ \( \vec{E}_{\text{net}} = \sum_{i} \vec{E}_{i} \) を使用します。単一電荷モード（1つのフォームでE、q、rのいずれかを計算項目として選択）と複数電荷モード（2D平面上の任意の場所に最大6つの電荷を配置し、任意のテスト点 P における合成電場を測定）を切り替えることができます。電荷はクーロン、マイクロクーロン、ナノクーロン、または元電荷 e で入力でき、電場の強さ（V/m および N/C）、成分 Eₓ と Eᵧ、方向角 θ、テスト点における電位 V、1 µC プローブ電荷に働く力、およびステップ・バイ・ステップの LaTeX 導出プロセスを出力します。入力に合わせて、電荷の球体（正は赤、負は青）、各電荷の寄与を示す矢印、および合成電場ベクトルがライブ SVG でリアルタイムに再描画されます。

この電場計算機の使い方

1. 上部でモードを選択します。単一の点電荷モードは、閉形式の公式 \( E = kq/r^{2} \) を使用します。複数電荷の重ね合わせモードでは、2D平面上に最大6つの電荷を配置し、任意のテスト点における合成ベクトル電場を読み取ることができます。
2. 単一モードでは、計算対象（E、q、r）を選択します。選択された項目に応じた入力欄が自動的に非表示になり、偶発的に過剰な制約をかけてしまうのを防ぎます。残りの2つの数値を好みの単位とともに入力してください。
3. 複数モードでは、ソース電荷ごとに1行（値 + 単位 + x + y）を入力します。使用しないスロットは空欄のままにしてください。次に、テスト点の座標（x, y）と共通の座標単位を入力します。
4. 周囲の媒体を選択します。真空と空気では電場は変化しません。水（εᵣ ≈ 80）は電場を約2桁遮蔽します。特殊な誘電体の場合は カスタム εᵣ を選択してください。
5. 計算する ボタンを押すと、電場の強さ、方向、電荷ごとの寄与度、ステップ・バイ・ステップの導出プロセス、およびアニメーション化された電気力線 / 重ね合わせ図面が表示されます。

この電卓の特徴

公式のまとめ

比誘電率 \( \varepsilon_{r} \) の媒体内において、距離 \( r \) にある値 \( q \) の単一の点電荷が作る電場の強さは以下のように表されます。

\[ E \;=\; k_{e}\,\dfrac{q}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

ここで \( k_{e} = 1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C² はクーロン定数です。電場はベクトルであり、正のソース電荷からは 放射状に外向き、負のソース電荷へは 放射状に内向き、すなわち、正のテスト電荷が押される（または引かれる）方向を向きます。

複数の電荷が存在する場合、重ね合わせの原理により、任意の点における全電場は個々の寄与のベクトル和になります。

\[ \vec{E}_{\text{net}}(\vec{r}) \;=\; \sum_{i} k_{e}\,\dfrac{q_{i}}{\varepsilon_{r}\,|\vec{r}-\vec{r}_{i}|^{2}}\,\hat{r}_{i} \]

この電卓は、各 \( \vec{E}_{i} \) を個別に計算し、それを Eₓ および Eᵧ 成分に分解して成分ごとに合計した上で、電場の強さ \(|E| = \sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) および方向 \( \theta = \arctan(E_{y}/E_{x}) \) を再構築します。

計算例: 10 cm で 1 µC

• \( E = (8.9875 \times 10^{9}) \times (1 \times 10^{-6}) / (0.10)^{2} \approx 8.99 \times 10^{5}\) V/m — 約 900 kV/m。
• 電場は正電荷から外向きに広がります。そこに自由電子を置くと、ソースに向かう方向に \( F = qE \approx 1.44 \times 10^{-13}\) N の力が働きます。
• この距離における電位: \( V = kq/r \approx 89.9\) kV — 小さな静電気を帯びた導体であっても、人間がはっきりと衝撃を感じる理由がこれです。

計算例: 電気双極子

\((-2\) cm, 0) に \(+1\) µC、\((+2\) cm, 0) に \(-1\) µC を配置します。テスト点は、軸の少し上の双極子の中点 \((0, 1\) cm) に位置します。

• 各電荷から P までの距離: \( r = \sqrt{2^{2}+1^{2}}\) cm \(= \sqrt{5}\) cm ≈ 2.24 cm。
• 各寄与の大きさは \( |E_{i}| = kq/r^{2} \approx 1.8 \times 10^{7}\) V/m。
• 対称性により y 成分は相殺され、x 成分は −x 方向（負の電荷へ向かう方向）に足し合わされます。合成電場は水平方向を向き、その大きさはおよそ \( 2 \times |E_{i}| \cos\theta \)（ただし \(\cos\theta = 2/\sqrt{5}\)）となります。

電場 vs 電気力 vs 電位

これら3つの物理量は、関連していますが異なる概念を表しています。

• 電場 \(\vec{E}\) (V/m または N/C) — 空間内のある点における、単位正テスト電荷あたりの力。テスト電荷が存在しなくても空間そのものに存在します。ベクトル量。
• 電気力 \(\vec{F} = q\vec{E}\) (ニュートン) — 電場の中に電荷 \(q\) を置いたときに、その電荷に実際に作用する力。ベクトル量。
• 電位 \(V\) (ボルト) — 電荷を無限遠からその点まで運ぶために必要な、単位正テスト電荷あたりの仕事。スカラー量。電位の負の勾配が電場になります：\(\vec{E} = -\nabla V\)。

この電卓は理解をクロスチェックできるように3つの値をすべて出力します。

一般的な電場の強さの目安

複数電荷問題を解くためのヒント

• 最初に対称性を確認する。 電荷がテスト点に対して対称に配置されている場合、一部の成分が完全に相殺されます。電卓でもこれが確認でき、Eₓ または Eᵧ が（極めてゼロに近い）数値として出力されます。
• テスト点を慎重に選ぶ。 対称軸上にテスト点を選ぶと数学的な処理がシンプルになり、電卓の出力を直感的にチェックしやすくなります。
• 符号に注意する。 正の電荷による寄与の矢印は、ソースからテスト点へ向かう外向きになります。負の電荷による矢印は、テスト点からソースへ向かう内向きになります。これを混同すると、合成ベクトルの方向が180°反転してしまいます。
• 座標の単位は共通。 6つの電荷すべてとテスト点は、複数電荷セクションの下部で選択した同一の座標単位を使用します。これにより幾何学的な整合性が維持されます。

よくある質問

点電荷の電場を求める公式は何ですか？
\( E = k_{e}\,q / r^{2} \) です。ここで \(k_{e} \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C² です。電場は正電荷から外向きに、負電荷へ内向きに働きます。

電場の単位は何ですか？
SI単位では V/m（ボルト毎メートル）であり、N/C（ニュートン毎クーロン）と等価です。この電卓は内部でこれらを自動変換します。

複数の電荷からの電場を足し合わせるにはどうすればよいですか？
ベクトル重ね合わせを使用します。各電荷の寄与を2Dベクトルとして計算し、x成分とy成分を個別に合計してから、全体の大きさを \(\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\)、方向を \(\arctan(E_{y}/E_{x})\) として再構築します。この電卓の複数電荷モードは、そのプロセスを自動化します。

電場と電気力の違いは何ですか？
電場は、ソース電荷が周囲の空間に与える影響を表します。力 \( F = qE \) は、その電場に別の電荷 \(q\) を配置したときに初めて発生します。電場はあらゆる場所に存在しますが、力は実際にそこに存在する電荷にのみ作用します。

ソース電荷の間にある媒体によって電場は変わりますか？
はい。電場は媒体の比誘電率 εᵣ で除算されます。空気はおよそ1、水はおよそ80です。同じソース電荷であっても、水中での電場は真空中に比べて約80倍弱くなります。これが、イオン性の塩が水に溶けやすく油に溶けにくい理由です。

空気の絶縁破壊電圧（電場）はどれくらいですか？
海面における乾燥した空気の場合、約 3 × 10⁶ V/m (3 MV/m) です。これを超えると空気がイオン化し、スパーク（火花放電）が発生します。電卓は結果がこの閾値を超えた場合に警告表示を行います。

ソース電荷や距離について解くことはできますか？
はい、単一電荷モードの 計算対象 セレクターを使用してください。電卓は \( E = kq/r^{2} \) を求める未知数に合わせて形式変更し（\( q = E\varepsilon_{r}r^{2}/k \) または \( r = \sqrt{kq/(\varepsilon_{r}E)} \)）、不要になった入力欄を非表示にします。

合成電場がゼロになるのはなぜですか？
テスト点に対して鏡像の位置に等しく逆符号の電荷が配置されている場合、それらの寄与が完全に相殺されることがあります（例えば、双極子の中心線上など）。これは電卓のバグではなく、実際の物理現象です。ゼロ以外の電場を確認したい場合は、テスト点を対称面から外れた場所に移動させてみてください。