Calculadora de Divergência
Calcule a divergência ∇·F de qualquer campo vetorial 2D ou 3D com computação de derivada parcial passo a passo. Insira as funções componentes P, Q (e R para 3D), obtenha a divergência simbólica, avalie em um ponto, identifique fontes e sumidouros e visualize um campo vetorial interativo com mapa de calor de divergência.
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Calculadora de Divergência
A Calculadora de Divergência computa a divergência ∇·F de qualquer campo vetorial 2D ou 3D com computação completa de derivada parcial passo a passo. Insira os componentes do seu campo vetorial P, Q (e R para 3D), opcionalmente avalie em um ponto específico e obtenha a divergência simbólica, a classificação de fonte/sumidouro e, para campos 2D, uma visualização interativa com um mapa de calor de divergência e fluxo de partículas animado.
O Que é Divergência?
A divergência de um campo vetorial \(\mathbf{F}\) é um operador de valor escalar que mede a taxa na qual o campo se "espalha" a partir de um ponto. Para um campo vetorial 3D \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\):
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$
Para um campo 2D \(\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\), a divergência é \(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\). A divergência é um conceito fundamental no cálculo vetorial, dinâmica de fluidos, eletromagnetismo e equações diferenciais.
Significado Físico da Divergência
Fórmulas de Divergência e Sistemas de Coordenadas
| Sistema de Coordenadas | Fórmula da Divergência |
|---|---|
| Cartesiano 2D | \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\) |
| Cartesiano 3D | \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\) |
| Cilíndrico | \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\) |
| Esférico | \(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\) |
Identidades Importantes Envolvendo Divergência
| Identidade | Fórmula |
|---|---|
| Linearidade | \(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\) |
| Regra do produto (escalar × vetor) | \(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\) |
| Divergência do rotacional | \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (sempre) |
| Laplaciano | \(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (divergência do gradiente = Laplaciano) |
| Teorema da divergência | \(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\) |
Aplicações da Divergência
| Campo | Aplicação | O Que a Divergência Representa |
|---|---|---|
| Eletromagnetismo | Lei de Gauss | \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — densidade de carga cria divergência no campo elétrico |
| Eletromagnetismo | Campo magnético | \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — não existem monopolos magnéticos |
| Dinâmica de Fluidos | Equação da continuidade | \(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) para fluxo incompressível |
| Transferência de Calor | Equação do calor | A divergência do fluxo de calor relaciona-se à mudança de temperatura |
| Relatividade Geral | Equações de campo de Einstein | Condição de livre divergência no tensor de energia-momento |
Como Usar a Calculadora de Divergência
- Escolha a dimensão: Selecione 2D para campos F = ⟨P, Q⟩ ou 3D para F = ⟨P, Q, R⟩ usando os botões de alternância.
- Insira as funções componentes: Digite cada função componente (P, Q e, opcionalmente, R) usando a notação padrão. Use
^para expoentes,*para multiplicação e funções comosin(x),cos(y),exp(x),ln(x),sqrt(x). A multiplicação implícita é suportada (ex:2x=2*x). - Insira um ponto de avaliação (opcional): Forneça coordenadas separadas por vírgulas para avaliar a divergência numericamente e classificar o ponto como fonte, sumidouro ou incompressível.
- Clique em Calcular Divergência: Visualize a fórmula da divergência simbólica, o cálculo da derivada parcial passo a passo, a avaliação numérica e a classificação de fonte/sumidouro.
- Explore a visualização: Para campos 2D, veja as setas do campo vetorial com um mapa de calor de divergência codificado por cores (vermelho = fonte, azul = sumidouro) e fluxo de partículas animado mostrando o comportamento do campo.
Exemplo Prático
Encontre a divergência de \(\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle\) no ponto \((1, 1)\):
Passo 1: Identifique os componentes: \(P = x\), \(Q = y\).
Passo 2: Calcule as derivadas parciais: \(\frac{\partial P}{\partial x} = 1\), \(\frac{\partial Q}{\partial y} = 1\).
Passo 3: Some-as: \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2\).
Interpretação: Como \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0\), cada ponto é uma fonte. O campo se expande uniformemente para fora — imagine o fluido sendo bombeado para fora em todos os lugares do plano.
FAQ
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pela equipe MiniWebtool. Atualizado em: 2026-04-08
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