布萊克-休斯計算機

布萊克-休斯計算機

歡迎使用 布萊克-休斯期權定價計算機，這是一款專業級工具，使用榮獲諾貝爾獎的布萊克-休斯模型計算歐式看漲和看跌期權的理論公允價值。該計算機提供完整的希臘值分析、交互式視覺化和全面的風險指標，是期權交易者、金融分析師和學習衍生品學生的必備工具。

什麼是布萊克-休斯模型？

布萊克-休斯模型（也稱為 Black-Scholes-Merton 模型）是用於歐式期權合約定價的數學框架。由費雪·布萊克（Fischer Black）、麥倫·休斯（Myron Scholes）和勞勃·默頓（Robert Merton）於 1973 年開發，這項開創性的工作使休斯和默頓獲得了 1997 年的諾貝爾經濟學獎（布萊克當時已去世）。

該模型透過提供第一種在分析上易於處理的方法來計算期權的公允價格，徹底改變了金融市場。在布萊克-休斯模型出現之前，期權通常根據直覺和經驗進行定價。該模型優雅的公式為交易員和機構提供了一種標準化的期權估值方法，導致了全球期權市場的爆炸式增長。

布萊克-休斯模型的關鍵假設

• 歐式期權： 期權只能在到期時履約，不能提前履約
• 無股息： 在期權存續期間，標的股票不派發股息（儘管該模型可以針對股息進行修正）
• 有效市場： 市場流動性完美，沒有套利機會
• 無交易成本： 股票和期權交易不涉及任何費用或佣金
• 恆定波動率： 股票波動率在期權存續期間保持不變
• 恆定利率： 無風險利率在期權存續期間保持不變
• 對數常態分配： 股票價格遵循帶漂移的幾何布朗運動

布萊克-休斯公式

看漲期權價格

看跌期权價格

d1 和 d2 參數

其中：

• S = 當前股票價格
• K = 履約價格
• T = 到期時間（以年為單位）
• r = 無風險利率（年化）
• sigma = 波動率（年化標準差）
• q = 連續股息率
• N(x) = 標準常態累積分配函數
• e = 尤拉數（約等於 2.71828）

理解期權希臘值

希臘值是描述期權價格相對於各種因素變化的風險指標。專業交易員使用希臘值來理解、衡量和避險他們的期權部位。

希臘值	衡量指標	解釋
Delta	對股價波動的敏感度	Delta 為 0.5 意味著股價每變動 1 美元，期權價格變動 0.50 美元
Gamma	Delta 的變化率	衡量股價變動時 Delta 的變化速度；對於價平期權最高
Theta	每天的時間衰減	顯示期權每天損失多少價值；對於多頭期權始終為負
Vega	對波動率的敏感度	顯示隱含波動率每變化 1% 時期權價格的變化量
Rho	對利率的敏感度	顯示利率每變化 1% 時期權價格的變化量

Delta 詳解

Delta 是最常用的希臘值。對於看漲期權，Delta 的範圍是 0 到 1；對於看跌期權，範圍是 -1 到 0。Delta 也可以解釋為期權在到期時處於價內的近似機率。價平期權的看漲期權 Delta 通常接近 0.5，看跌期權接近 -0.5。

Gamma 詳解

Gamma 衡量期權價值的凸性。對於看漲期權和看跌期權，它始終為正。Gamma 高的期權隨著股價變動，其 Delta 會迅速變化，使其對價格波動更敏感。靠近到期日的價平期權 Gamma 最高。

Theta 詳解

Theta 代表期權時間價值的每日流逝。在其他條件相同的情況下，期權價值會隨著時間流逝而降低。這種時間衰減在靠近到期日時會加速，尤其是對於價平期權。Theta 是期權買方的敵人，是期權賣方的朋友。

Vega 詳解

Vega 衡量期權價格對隱含波動率變化的敏感程度。較高的波動率會增加期權價格，因為發生重大價格波動的可能性更大。到期時間較長的價平期權 Vega 最高。

Rho 詳解

Rho 衡量利率敏感性。較高的利率通常會增加看漲期權的價值並降低看跌期權的價值。Rho 對於長期期權更為顯著，但對於短期交易通常是最不重要的希臘值。

如何使用此計算機

1. 輸入當前股票價格 (S)： 輸入標的股票當前的市價。這是股票當前的交易價格。
2. 設置履約價格 (K)： 輸入期權的履約價格。這是行使期權時您可以買入（看漲）或賣出（看跌）股票的價格。
3. 指定到期時間 (T)： 輸入距離到期的剩餘時間（以年為單位）。例如，6 個月輸入 0.5，3 個月輸入 0.25，或者將天數除以 365。
4. 輸入無風險利率 (r)： 輸入當前的無風險利率百分比。通常使用與期權到期期限匹配的政府債券收益率。
5. 設置波動率 (sigma)： 輸入年化波動率百分比。您可以使用歷史波動率或類似期權的隱含波動率。
6. 添加股息率（可選）： 如果股票派發股息，請輸入連續股息率。對於不派息的股票，請保持為 0。
7. 計算並分析： 查看綜合結果，包括期權價格、所有希臘值、機率指標和交互式圖表。

理解您的結果

期權價格

計算機顯示看漲和看跌期權的理論價格。這些代表了根據布萊克-休斯模型的公允價值。實際市場價格可能會因供需關係、交易成本和模型局限性而有所不同。

內含價值 vs 時間價值

期權價格由內含價值加上時間價值組成：

• 內含價值： 立即履約的價值。看漲期權：max(S-K, 0)。看跌期權：max(K-S, 0)
• 時間價值： 高出內含價值的溢價，反映了到期前有利價格波動的可能性

價位 (Moneyness)

• 價內 (In-the-Money - ITM)： 看漲期權當 S > K；看跌期權當 K > S。期權具有內含價值
• 價平 (At-the-Money - ATM)： 當 S 約等於 K。時間價值最大
• 價外 (Out-of-the-Money - OTM)： 看漲期權當 S < K；看跌期權當 K < S。內含價值為零

交互式圖表

計算機生成三個交互式視覺化：

• 收益圖： 顯示到期時不同股價下的利潤/虧損。幫助視覺化每種期權類型的風險/回報概況
• 波動率敏感性： 演示期權價格如何隨著不同波動率水平而變化。說明了 Vega 概念
• 時間衰減： 顯示期權價值如何隨著到期日的臨近而流逝。說明了 Theta 概念

實際應用

對於交易員

• 透過將理論價格與市場價格進行比較來識別定價錯誤的期權
• 計算希臘值以理解和管理風險敞口
• 確定潛在交易的盈虧平衡點
• 評估波動率變化對現有部位的影響

對於風險管理者

• 避險投資組合的 Delta 以中和方向性敞口
• 在動盪的市場期間監控 Gamma 風險
• 追蹤期權組合的 Theta 衰減
• 使用 Vega 壓力測試部位對抗波動率變化

對於學生和教育者

• 學習期權變數與價格之間的關係
• 視覺化抽象概念，如時間衰減和波動率敏感性
• 驗證學術練習的手算結果
• 探索不同場景如何影響期權估值

布萊克-休斯模型的局限性

雖然布萊克-休斯模型是現代期權定價的基石，但它有幾個已知的局限性：

恆定波動率假設

真實的市場波動率並不是恆定的。它會隨時間變化，並因不同的履約價格而異（波動率微笑/偏斜）。這就是為什麼隱含波動率通常隨履約價和到期日而異的原因。

僅限歐式履約

基本模型僅適用於歐式期權。美式期權（可以提前履約）需要修改過的模型或數值方法，如二項式樹模型。

無跳躍風險

該模型假設價格變動是平滑且連續的。在現實中，股價可能會跳空高開或低開，特別是在收益公告或重大新聞事件期間。

完美市場假設

真實市場有交易成本、買賣價差和有限的流動性。這些因素影響實際交易結果，但未在模型中體現。

常見問題解答

什麼是布萊克-休斯模型？

布萊克-休斯模型是用於歐式期權合約定價的數學模型。由費雪·布萊克、麥倫·休斯和勞勃·默頓於 1973 年開發，它基於五個關鍵變數計算期權的理論公允價值：當前股票價格、履約價格、到期時間、無風險利率和波動率。該模型假設市場是有效的，沒有交易成本，且股票價格服從對數常態分配。

什麼是期權希臘值？

期權希臘值是描述期權價格相對於各種因素變化的風險指標。Delta 衡量對股票價格變化的敏感性。Gamma 衡量 Delta 的變化率。Theta 衡量時間衰減（期權每天損失多少價值）。Vega 衡量對波動率變化的敏感性。Rho 衡量對利率變化的敏感性。交易員使用希臘值來理解和避險他們的期權部位。

什麼是隱含波動率？

隱含波動率是市場對資產價格可能波動的預測。它是透過使用期權當前的市價，從布萊克-休斯公式中反推出來的。較高的隱含波動率表示預期價格波動較大，會導致較高的期權權利金。隱含波動率是期權定價的關鍵輸入，通常與歷史波動率進行比較以識別交易機會。

歐式期權和美式期權有什麼區別？

歐式期權只能在到期時履約，而美式期權可以在到期前的任何時間履約。布萊克-休斯模型專為歐式期權設計。對於不支付股息的股票，美式看漲期權的價格與歐式看漲期權相同，因為提前履約絕非最佳選擇。然而，由於提前履約的潛在益處，美式看跌期權可能具有更高的價值。

股息率如何影響期權價格？

股息率會降低看漲期權的價值並增加看跌期權的價值。這是因為股息降低了到期時的預期股價（在除息日，股價會下跌大約股息金額）。帶有連續股息率的布萊克-休斯模型透過降低有效股價增長率來調整這一點。與不派息的股票相比，具有高股息率的股票看漲期權權利金較低，看跌期權權利金較高。

為什麼市場價格可能與布萊克-休斯價格不同？

市場價格可能因多種原因與理論上的布萊克-休斯價格不同：隱含波動率可能與您輸入的波動率不同、模型的假設在真實市場中可能不成立、供需失衡會影響價格、交易成本和流動性影響實際交易。市場價格與理論價格之間的差異可能預示著潛在的交易機會。

我應該使用什麼波動率？

您可以使用歷史波動率（根據過去的价格波動計算）或隱含波動率（根據當前的期權價格推導）。歷史波動率是回顧性的，而隱含波動率反映了市場預期。許多交易員使用標普 500 期權的 VIX 指數，或根據流動的價平期權計算隱含波動率。

此計算機的準確性如何？

此計算機以高精度實現了標準的布萊克-休斯公式。數學計算與專業交易軟件中使用的計算相匹配。但是，請記住，模型的準確性取決於真實市場滿足模型假設的程度。將結果視為理論參考點，而不是精確的價格預測。

其他資源

了解更多關於期權定價和布萊克-休斯模型的信息：

• 布萊克-休斯模型 - 維基百科
• 布萊克-休斯模型詳解 - Investopedia
• 期權入門 - 芝商所 (CME Group)