3D曲面绘图器

3D 曲面绘图器可直接在浏览器中将任意二元函数 \( z = f(x, y) \) 绘制为完全交互式的 3D 景观。在视口内拖拽可旋转曲面，滚动或捏合可进行缩放，右键拖拽（或在手机上双指平移）可滑动视图。支持输入自定义函数，完整支持 sin、cos、exp、log、sqrt 等函数，以及常量 \( \pi \) 和 \( e \)，并提供诸如 x^2 或 2xy 的自然书写便利 — 或者点击十种预设之一，瞬间渲染经典的马鞍面、抛物面、墨西哥帽 sinc 面、猴鞍面、蛋壳面、高斯脉冲等。您可以在等轴测和透视投影、六种感知色彩映射以及三种网格线样式之间进行选择，然后将当前视图导出为高分辨率 PNG 图像。

3D 曲面图绘制原理

经典曲面展厅

本 3D 绘图器的独特之处

表达式语法 — 快速参考

如何阅读 3D 曲面图

曲面图通过形状和颜色融合了大量信息。通过练习，可以识别出以下几种模式：

• 临界点是曲面具有水平切平面的地方 — 局部极大值看起来像穹顶，局部极小值看起来像碗底，而马鞍点在一个方向上向上弯曲，在垂直方向上向下弯曲。点击“马鞍面”预设并旋转视图：沿着一个轴它是微笑曲线，沿着另一个轴它是哭脸曲线。
• 水平曲线（等高线）在色彩映射为发散型或地形风格时会自然显现 — 相同颜色的条带描绘出了恒定 \( z \) 值的线条。
• 梯度方向是每个点处最陡峭的上升方向。直观上看，这就是垂直于等高线并指向更暖颜色的方向。
• 对称性在 3D 中非常明显：\( z = x^2 + y^2 \) 具有旋转对称性（碗状），\( z = x^2 - y^2 \) 仅具有镜像对称性（马鞍状），而 \( z = x^3 - 3xy^2 \) 则具有美丽的完美三重旋转对称性（猴鞍面）。

从马鞍面到 Sinc：一键之旅

预设展厅为您提供了多元微积分中最常学到的曲面的导览。为初次观看者建议的探索顺序如下：

1. 抛物面 \( z = x^2 + y^2 \) — 最友好的 3D 曲面。一个旋转对称的碗，在原点处有一个唯一的极小值。
2. 马鞍面 \( z = x^2 - y^2 \) — 标志性的薯片形状。尝试 cool-warm 色彩映射可立刻看到正负的分离。
3. 双曲抛物面 \( z = xy \) — 旋转了 45° 的马鞍面。相同的形状，不同的朝向。
4. 猴鞍面 \( z = x^3 - 3xy^2 \) — 原点周围有三个下坡而不是两个。得名于猴子坐上去时也需要一个地方来放尾巴。
5. 高斯面 \( z = e^{-(x^2+y^2)} \) — 2D 空间中的钟形曲线。统计学、信号处理和物理学的基础。
6. 墨西哥帽 sinc 面 \( z = \sin\sqrt{x^2+y^2}/\sqrt{x^2+y^2} \) — 径向 sinc 函数。出现在傅里叶光学、衍射图样以及以此命名的子波中。
7. 蛋壳面 \( z = \sin x \sin y \) — 在两个方向上具有周期性。开启网格线可看到网格线与凸起对齐。
8. 波纹面 \( z = \sin\sqrt{x^2+y^2} \) — 从原点扩散的同心波浪。尝试 −8 到 8 的宽定义域。

实际应用领域

• 多元微积分：无需每次都手动重画，即可将偏导数、梯度、临界点和拉格朗日乘子可视化。
• 物理学：势能面、电磁场强度、流体压力分布和量子波函数都可以表示为 \( z = f(x, y) \)。
• 机器学习：2D 权重子空间周围的损失景观（loss landscapes）有助于建立关于梯度下降为何有效（以及为何马鞍面是一个难题）的直觉。
• 计算机图形学：地形高度图正是如此 — 在常规网格上对函数 \( h(x, y) \) 进行采样然后进行三角剖分。
• 土木工程：用于地形分析的高程模型、大坝集水区和土石方量估算。
• 数据可视化：任何数量，只要取决于两个独立变量 — 比如一个国家的温度变化、按地区和月份划分的销售额、跨两个超参数的适应度 — 都可以自然地渲染为曲面。

美化图表的技巧

• 使定义域与函数相匹配。多项式通常在 −3 到 3 上显示。像 sinc 这样的振荡函数需要一个宽定义域（−8 到 8）来展现波纹。使用 −1 到 1 可以放大靠近原点的单个马鞍面。
• 选择合适的色彩映射。对于任何具有正负区域的曲面，请使用 cool-warm — 白色中点能瞬间标记出零水平位。对于非负曲面，请使用 viridis 或 plasma。对于景观风格的高度图，请使用 terrain。
• 在作品渲染中关闭网格线。细微的网格线非常适合教学（“看清网格”）。对于出版物质量的插图，请将网格线设置为关闭（Off），并将分辨率提高到高（High）或超高（Ultra）。
• 利用自动旋转捕获丰富的动画。点击自动旋转（Auto-spin）然后开始录屏 — 非常适合将旋转的曲面嵌入到幻灯片中，而无需手动操作。
• 过大的定义域会使曲面扁平化。如果您的函数在边缘附近返回极大的值，内部的细节就会塌陷。要么缩小定义域，要么缩放函数（例如 \( z / 100 \)）以使关键区域重新清晰可见。

常见问题