Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
> Máy tính Phân tích LU Ma trận
 

Máy tính Phân tích LU Ma trận

Tính toán phân tích LU của bất kỳ ma trận vuông nào với kỹ thuật xoay vòng bán phần. Nhận các ma trận tam giác dưới (L), tam giác trên (U) và ma trận hoán vị (P) với các bước khử Gauss và xác minh chi tiết.

Máy tính Phân tích LU Ma trận

Ví dụ nhanh — nhấp để điền:

3×3 Tiêu chuẩn 3×3 Không chọn trụ 2×2 Hoán đổi 4×4 Ma trận tam chéo
Định dạng: 2 1 1; 4 3 3; 8 7 9 (dấu chấm phẩy) hoặc mỗi hàng một dòng. Hỗ trợ ký hiệu [1,2,3] hoặc (1 2 3). Ma trận phải là ma trận vuông (n×n).

Embed Máy tính Phân tích LU Ma trận Widget

Giới thiệu về Máy tính Phân tích LU Ma trận

Chào mừng bạn đến với Máy tính phân tích LU ma trận, một công cụ đại số tuyến tính toàn diện giúp phân tích bất kỳ ma trận vuông nào thành tích của một ma trận tam giác dưới (L) và một ma trận tam giác trên (U) bằng phương pháp khử Gauss với chọn phần tử trụ từng phần. Nhận chi tiết các bước khử, hoạt ảnh phân tích tương tác và xác minh tự động. Lý tưởng cho sinh viên, kỹ sư và bất kỳ ai làm việc với các hệ phương trình tuyến tính.

Phân tích LU là gì?

Phân tích LU (còn gọi là phân thừa số LU) biểu diễn một ma trận vuông \(A\) dưới dạng tích của hai ma trận tam giác:

Phân tích LU
$$A = LU$$

Trong đó:

  • L (Ma trận tam giác dưới): có các số 1 trên đường chéo chính và các phần tử khác không chỉ nằm bên dưới đường chéo. Các phần tử này là các hệ số nhân được sử dụng trong quá trình khử Gauss.
  • U (Ma trận tam giác trên): có các phần tử khác không chỉ nằm trên và phía trên đường chéo chính. Đây chính là dạng bậc thang hàng của ma trận.

Khi sử dụng chọn phần tử trụ từng phần (để tránh các phần tử trụ bằng không và cải thiện tính ổn định số học), phép phân tích trở thành:

Phân tích LU với chọn phần tử trụ từng phần
$$PA = LU$$

Trong đó \(P\) là một ma trận hoán vị ghi lại các lần đổi hàng được thực hiện trong quá trình khử.

Cách sử dụng máy tính này

  1. Nhập ma trận của bạn: Nhập một ma trận vuông với các hàng trên các dòng riêng biệt hoặc cách nhau bằng dấu chấm phẩy. Các phần tử có thể cách nhau bằng dấu cách, dấu phẩy hoặc tab. Hỗ trợ kích thước lên tới 8×8.
  2. Thiết lập độ chính xác thập phân: Chọn số chữ số thập phân (2-10) để hiển thị trong kết quả.
  3. Nhấp vào Phân tích: Máy tính sẽ thực hiện phân tích LU với chọn phần tử trụ từng phần và hiển thị kết quả.
  4. Xem kết quả: Kiểm tra các ma trận L, U và P, hoạt ảnh phân tích và chi tiết các bước khử từng bước.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phân tích LU

Phân tích LU đặc biệt hiệu quả để giải các hệ phương trình tuyến tính \(Ax = b\). Khi bạn đã có \(PA = LU\), việc giải trở thành quy trình hai bước:

Bước 1: Phép thế tiến

Giải \(Ly = Pb\) để tìm \(y\). Vì \(L\) là ma trận tam giác dưới, việc này rất đơn giản — bắt đầu từ phương trình đầu tiên và tính dần xuống dưới:

Phép thế tiến
$$y_i = b_i' - \sum_{j=1}^{i-1} L_{ij} y_j, \quad i = 1, 2, \ldots, n$$

Bước 2: Phép thế lùi

Giải \(Ux = y\) để tìm \(x\). Vì \(U\) là ma trận tam giác trên, hãy bắt đầu từ phương trình cuối cùng và tính dần lên trên:

Phép thế lùi
$$x_i = \frac{1}{U_{ii}} \left( y_i - \sum_{j=i+1}^{n} U_{ij} x_j \right), \quad i = n, n-1, \ldots, 1$$

Tính toán định thức

Định thức của \(A\) có thể được tính toán hiệu quả từ các thừa số LU:

Tính định thức từ phân tích LU
$$\det(A) = (-1)^s \cdot \prod_{i=1}^{n} U_{ii}$$

Trong đó \(s\) là số lần hoán đổi hàng (chọn phần tử trụ) và \(U_{ii}\) là các phần tử trên đường chéo của \(U\). Vì \(\det(L) = 1\) (tất cả các phần tử đường chéo là 1) và \(\det(P) = (-1)^s\), công thức được suy ra từ \(\det(P)\det(A) = \det(L)\det(U)\).

Tại sao cần chọn phần tử trụ từng phần?

Nếu không có chọn phần tử trụ, phân tích LU sẽ thất bại nếu bất kỳ phần tử trụ nào bằng không. Ngay cả khi các phần tử trụ khác không nhưng rất nhỏ, kết quả tính toán có thể gặp sai số số học nghiêm trọng. Chọn phần tử trụ từng phần chọn phần tử trụ lớn nhất có thể trong mỗi cột, điều này giúp:

  • Ngăn chặn việc chia cho số không
  • Giảm thiểu sự gia tăng của sai số làm tròn
  • Đảm bảo các hệ số nhân trong L thỏa mãn \(|L_{ij}| \leq 1\)
  • Đảm bảo mọi ma trận không suy biến đều có thể phân tích được

Ứng dụng của phân tích LU

Lĩnh vựcỨng dụng
Kỹ thuậtGiải các hệ thống lớn từ phân tích phần tử hữu hạn, mô phỏng mạch điện, cơ học kết cấu
Tính toán khoa họcGiải số các phương trình vi phân, nghịch đảo ma trận, ước lượng số điều kiện
Thống kêPhân tích hồi quy, phân tích ma trận hiệp phương sai, ước lượng hợp lý cực đại
Đồ họa máy tínhQuy trình biến đổi, mô phỏng vật lý, tính toán ánh sáng
Học máyHuấn luyện các mô hình tuyến tính, quá trình Gaussian, phương pháp hạt nhân (kernel)
Kinh tế họcMô hình đầu vào - đầu ra, phân tích cân bằng, các bài toán tối ưu hóa

LU so với các phép phân tích khác

  • LU so với QR: LU nhanh hơn (\(O(\frac{2}{3}n^3)\) so với \(O(\frac{4}{3}n^3)\)) nhưng kém ổn định số học hơn. QR được ưu tiên cho các bài toán bình phương tối thiểu.
  • LU so với Cholesky: Cholesky (\(A = LL^T\)) chỉ hoạt động cho các ma trận đối xứng xác định dương nhưng nhanh gấp đôi và ổn định hơn so với LU tổng quát.
  • LU so với khử Gauss: LU chính là khử Gauss, nhưng dạng phân tích L và U có thể được tái sử dụng để giải nhiều vế phải một cách hiệu quả.

Câu hỏi thường gặp

Phân tích LU là gì?

Phân tích LU (còn gọi là phân thừa số LU) là một phương pháp phân tích một ma trận vuông A thành tích của một ma trận tam giác dưới L và một ma trận tam giác trên U, sao cho A = LU (hoặc PA = LU với chọn phần tử trụ từng phần). Ma trận L có các số 1 trên đường chéo chính và lưu trữ các hệ số khử, trong khi U là kết quả của quá trình khử Gauss.

Tại sao cần chọn phần tử trụ từng phần trong phân tích LU?

Chọn phần tử trụ từng phần thực hiện hoán đổi các hàng để đưa giá trị tuyệt đối lớn nhất vào vị trí phần tử trụ. Điều này ngăn chặn việc chia cho số không khi phần tử trụ bằng không và giảm thiểu sai số tính toán do chia cho các số nhỏ. Với việc chọn phần tử trụ, phép phân tích trở thành PA = LU, trong đó P là ma trận hoán vị ghi lại các lần đổi hàng.

Các ứng dụng của phân tích LU là gì?

Phân tích LU được sử dụng để giải các hệ phương trình tuyến tính (Ax = b) một cách hiệu quả, tính định thức ma trận, tìm ma trận nghịch đảo và phân tích tính ổn định số học. Nó đặc biệt hiệu quả khi giải nhiều hệ phương trình có cùng ma trận hệ số nhưng khác vế phải, vì việc phân tích chỉ cần thực hiện một lần.

Làm thế nào để giải Ax = b bằng phân tích LU?

Sau khi tính PA = LU, việc giải Ax = b trở thành: đầu tiên giải Ly = Pb bằng phép thế tiến (dễ dàng vì L là ma trận tam giác dưới), sau đó giải Ux = y bằng phép thế lùi (dễ dàng vì U là ma trận tam giác trên). Quy trình hai bước này nhanh hơn nhiều so với khử Gauss khi giải nhiều hệ phương trình.

Mọi ma trận vuông có thể phân tích LU được không?

Không phải mọi ma trận vuông đều có phân tích LU mà không cần chọn phần tử trụ. Một ma trận có phân tích LU khi và chỉ khi tất cả các định thức con dẫn đầu của nó khác không. Tuy nhiên, với việc chọn phần tử trụ từng phần (PA = LU), mọi ma trận vuông không suy biến đều có thể phân tích được. Các ma trận suy biến có thể thất bại nếu gặp phải phần tử trụ bằng không.

Tài liệu tham khảo thêm

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Phân tích LU Ma trận" tại https://MiniWebtool.com/vi// từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 18 tháng 2, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoCông cụ đổi Pound sang KilogramCông cụ Mã hóa CaesarCông cụ chuyển đổi kg sang lbsMáy tính giảm giá phần trămMáy tính thương và số dưTrình Tạo Mã MorseCông cụ chuyển đổi chữ số La MãĐảo ngược văn bảnMáy tính phân số tối giảnCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênCông cụ đếm hàngXóa dấu cáchMáy tính thập phân sang phân sốTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênCon số may mắn của tôi là gì?Máy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốTrình tạo tên ngẫu nhiênMáy tính xác suất xúc xắcCông cụ chia ảnhBộ chuyển đổi FPSmáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchCông cụ chuyển đổi kPa sang psiBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênMáy tính căn bậc haiTrình tạo mê cungMáy phát động vật ngẫu nhiênTrình tạo số xổ sốMáy tính So sánh Phân sốSắp xếp sốMáy tính thời gianCông cụ tạo Sự thật hay Thách đốMáy tính nhị phânCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy tính xác suấtMáy tính giai thừaParaphraser AIMáy tính HEXBộ lặp MP3Máy tính Cạnh huyềnTrình Tạo Màu Ngẫu NhiênTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi inch sang centimetBộ giải mã Base64Máy tính Ước số chung lớn nhấtMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong năm📅 Máy tính ngàySắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiBộ Giải Mã Mã MorseCông cụ chuyển đổi phân số thành hỗn sốTrình tạo Hash MD5Bộ chuyển đổi hex sang thập phânBộ Chuyển Đổi Nhị PhânTrình chuyển đổi SRT sang TXTMáy Tính Giờ Làm ViệcTrình trích xuất âm thanhBộ chuyển đổi HEXMáy tính hoán vịMáy tính ModuloMáy tính One Rep Max (1RM)Đây có phải là Số Nguyên Tố?Bộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânTrình tạo PIN ngẫu nhiênBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexBộ chuyển đổi RGB sang HexChọn tên ngẫu nhiênMáy tính tương hợp tình yêuTrình tạo oẳn tù tìMáy tính độ lệch chuẩn - Độ chính xác caoCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phântra-cứu-địa-chỉ-macMáy tính Tổngchuyển đổi từ sang số điện thoạiCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânCông cụ chuyển đổi centimet sang inchMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨AI Trình thêm dấu câuBộ chuyển đổi hệ cơ sốBộ chọn màu hình ảnhBộ nén hình ảnhCông cụ chuyển đổi bát phân sang nhị phânTrình nén VideoTung đồng xuĐiều chỉnh tốc độ videoDanh sách các số nguyên tốGhép VideoMáy tính Log Base 10Máy tính LogaritMáy tính số thiên thầnMáy tính trung bìnhBộ Chuyển Đổi Mã Nhị Phân Sang Mã XámCông cụ chuyển đổi pound sang gamMáy tính BitwiseMáy tính Hoán vị lệch (Giai thừa phụ)Trình tạo Số CatalanTrình xác thực dãy bậc đồ thịMáy tính Cây khung nhỏ nhấtMáy tính Đường đi Ngắn nhất DijkstraTrình tạo Ma phươngMáy tính Số Hạnh phúcMáy tính Phỏng đoán CollatzMáy tính Độ congMáy tính Bán kính Hội tụMáy tính Phân tích LU Ma trậnMáy tính Phép chiếu VectorMáy tính Gram-SchmidtMáy tính Phương trình Hình cầuMáy tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳngMáy tính Trực tâm Tam giácMáy tính Trọng tâm Tam giácMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính Phân số liên tụcMáy tính Nghịch đảo Nhân theo Mô-đunMáy tính Thuật toán Euclid Mở rộngMáy tính Hàm Phi EulerMáy tính Định lý Số dư Trung QuốcCông cụ tạo Biểu đồ Venn (3 Tập hợp)Máy tính lý thuyết tập hợpCông cụ tạo bảng chân trịCông cụ chuyển đổi cân nặng người sang kiếnMáy tính Calo cho MèoMáy tính tiết kiệm bóng đènMáy tính Chi phí TắmMáy tính chi phí điện đào BitcoinMáy tính Giá trị Giấy vệ sinhTra cứu ID người dùng InstagramMáy tính Quãng đường Bàn phímTrình tạo Bingo từ thông dụngMáy tính Xác suất Ngày nghỉ ốmMáy tính lương thực tế theo giờMáy tính Cà phê vs. Giấc ngủMáy tính thời gian trả lời emailMáy tính FIRE - Tự do Tài chính, Nghỉ hưu sớmMáy tính thời gian lãng phí đi làmBộ đếm Chi phí Cuộc họpMáy tính lương trong nhà vệ sinhTrình tạo KakuroTrình tạo KenKen (Calcudoku)trình-tạo-nonogram-picrossGiải và luyện trò chơi 24Tạo và giải SudokuMáy tính khay phô maiMáy tính đài phun sô cô laMáy tính ABV CocktailMáy tính khẩu phần mì SpaghettiMáy tính thời gian làm lạnh biaMáy tính Taco BarMáy tính BBQMáy tính quá liều CaffeineCông cụ lập kế hoạch tiệc pizzaMáy tính rượu tiệc cướiMáy tính Nhà gạch LegoMáy tính Lấp đầy Phòng Bỏng ngôMáy tính va chạm đồng xu rơiMáy tính rơi xuyên Trái đấtMáy tính bức xạ chuốiMáy tính năng lượng Chuột HamsterMáy tính Tỷ lệ Lỗi Dịch chuyển Tức thờiMáy tính nấu gà bằng năng lượng động năngMáy tính lực nâng bóng bay HeliMáy tính Thời gian Sống sót ZombieTrình Kiểm Tra Kích Thước Thu Thập GooglebotMáy tính tỷ lệ bãi đỗ xeMáy tính Cây thông NoelMáy Tính Ngày Tận Thế Ma Cà RồngMáy tính giá trị PizzaMáy tính Quầy nước chanhTrình tạo tiểu bang Mỹ ngẫu nhiênTrình tạo lý do ngẫu nhiênTrình tạo hoạt động ngẫu nhiênTrình tạo công thức cocktail ngẫu nhiênCông cụ chọn phim ngẫu nhiênTrình tạo tên miền ngẫu nhiênTrình tạo siêu năng lực ngẫu nhiênTrình tạo Haiku ngẫu nhiênTrình tạo lời nhắc viết ngẫu nhiênTrình tạo IMEI Ngẫu nhiênTrình tạo chân dung người dùng ngẫu nhiênTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênTrình tạo số cổng ngẫu nhiênTrình tạo NanoID ngẫu nhiênMáy tính tuổi thọ pinMáy tính độ rộng đường mạch PCBMáy tính sụt ápMáy tính định luật OhmMáy tính mã màu điện trởTrình tạo chuyển hướng HtaccessCông cụ tối ưu SVGCông cụ tạo faviconCông cụ tạo biểu thức CrontabTrình định dạng SQLCông cụ chuyển đổi cURL sang JSONBộ giải mã JWTCông cụ chuyển đổi JSON sang YAMLMáy tính Chuyển đổi MenCông cụ chuyển đổi kích thước khuôn bánhMáy tính độ ẩm bột nhàomáy-tính-tỷ-lệ-bánh-mìMáy tính kích thước thêu chữ thậpMáy tính vảiMáy tính sợi lenMáy tính nước muối và độ mặnMáy tính tỷ lệ pha cà phêMáy tính ABV bia thủ côngMáy tính sáp và tinh dầu thơm nếnMáy tính xút làm xà phòng (SAP)Máy tính kích thước in và độ phân giải (DPI/PPI)Máy tính Golden Hour và Blue HourMáy tính độ sâu trường ảnh (DoF)Máy tính khoảng cách trồng câyMáy tính Chuyển đổi Tỷ lệ Mô hìnhMáy tính vật liệu nền bể cáMáy tính thể tích và mật độ cá bểQuay vòng quayĐổ xúc xắcQuả cầu Thần kỳ 8Trình tạo bài tây ngẫu nhiênCông cụ tạo địa chỉ IP ngẫu nhiênTrình tạo thời gian ngẫu nhiênTrình tạo ngày ngẫu nhiênCông cụ tạo tọa độ ngẫu nhiênCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo JSON ngẫu nhiênTrình tạo quốc gia ngẫu nhiênCông cụ tạo bảng màu ngẫu nhiênCông cụ tạo Emoji ngẫu nhiênCông cụ tạo bữa ăn ngẫu nhiênTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênCông Cụ Tạo Phân Phối GaussMáy tính Giá trị PipMáy tính Lãi kép Hàng ngàyMáy tính Chiến lược MartingaleMáy tính Tiêu chí KellyMáy tính Stop Loss & Take ProfitMáy tính mở rộng Fibonaccimáy-tính-điểm-xoayMáy tính đòn bẩy tiền điện tửBộ chuyển đổi Satoshi sang Đô laMáy Tính Chênh Lệch Giá Tiền Điện TửMáy tính tổn thất tạm thờiMáy Tính Lợi Nhuận Quyền ChọnMáy Tính Biến Động Ngầm ĐịnhMáy tính Greek Quyền chọnMáy tính Định giá Quyền chọn Black-ScholesMáy tính rủi ro phá sảnMáy tính lợi nhuận bán khốngMáy tính Margin CallMáy Tính Kích Thước Vị Thếmáy tính giá trung bình cổ phiếuCông cụ xóa ký tự vô hìnhCông cụ Chuyển đổi Văn bản sang Danh sách SQLCông cụ trích xuất cột văn bảnMáy tính sự khác biệt danh sáchCông cụ tạo văn bản ZalgoCông cụ tạo nghệ thuật ASCIICông cụ tạo văn bản vô hình