Máy tính Arcsin

Chào mừng bạn đến với Máy tính Arcsin, một công cụ trực tuyến mạnh mẽ để tính sin nghịch đảo (arcsin hoặc sin^-1) của bất kỳ giá trị nào. Nhập một số từ -1 đến 1 và nhận ngay góc tương ứng theo độ hoặc radian. Máy tính này có tính năng số học độ chính xác tùy ý (lên đến 1000 chữ số thập phân), hình ảnh trực quan vòng tròn đơn vị tương tác, giải pháp từng bước và giải thích toàn diện về các khái niệm lượng giác nghịch đảo.

Arcsin (Sin nghịch đảo) là gì?

Arcsin, còn được viết là arcsin(x), asin(x) hoặc sin^-1(x), là hàm nghịch đảo của sin. Trong khi hàm sin nhận một góc và trả về một tỉ số, arcsin làm ngược lại: nó nhận một tỉ số (một giá trị từ -1 đến 1) và trả về góc có sin bằng tỉ số đó.

Về mặt toán học, nếu sin(θ) = x, thì arcsin(x) = θ. Kết quả được gọi là giá trị chính và luôn nằm trong khoảng [-90°, 90°] hoặc [-π/2, π/2] radian.

Tại sao Arcsin chỉ được xác định cho [-1, 1]?

Hàm sin ánh xạ bất kỳ góc nào sang một giá trị từ -1 đến 1. Cho dù bạn nhập góc nào, sin(θ) luôn tạo ra kết quả trong [-1, 1]. Vì arcsin là phép toán nghịch đảo, nó chỉ có thể chấp nhận các giá trị thực sự có thể là đầu ra của hàm sin.

Nếu bạn cố gắng tính arcsin(2) hoặc arcsin(-1,5), sẽ không có góc thực nào có sin bằng các giá trị này, vì vậy kết quả sẽ không xác định (hoặc là số phức trong toán học nâng cao).

Hiểu về giá trị chính

Hàm sin không phải là hàm đơn ánh - nhiều góc khác nhau có cùng giá trị sin. Ví dụ: sin(30°) = sin(150°) = 0,5. Để biến arcsin thành một hàm thực thụ (một đầu ra cho mỗi đầu vào), các nhà toán học giới hạn đầu ra trong phạm vi giá trị chính: [-90°, 90°] hoặc [-π/2, π/2].

Phạm vi này bao gồm:

• Góc dương (0° đến 90°): Cung phần tư thứ I, nơi cả tọa độ x và y đều dương
• Góc âm (-90° đến 0°): Cung phần tư thứ IV, nơi x dương và y âm

Các giá trị Arcsin phổ biến (Góc đặc biệt)

Các giá trị này thường xuyên xuất hiện trong lượng giác và rất đáng để ghi nhớ:

Đầu vào (x)	arcsin(x) tính bằng Độ	arcsin(x) tính bằng Radian
-1	-90°	-π/2
-√3/2 ≈ -0,866	-60°	-π/3
-√2/2 ≈ -0,707	-45°	-π/4
-1/2	-30°	-π/6
0	0°	0
1/2	30°	π/6
√2/2 ≈ 0,707	45°	π/4
√3/2 ≈ 0,866	60°	π/3
1	90°	π/2

Nghiệm tổng quát: Tìm tất cả các góc

Mặc dù arcsin cung cấp cho bạn một góc (giá trị chính), nhưng có vô số góc có cùng giá trị sin. Tập hợp các nghiệm đầy đủ được cho bởi:

Công thức đầu tiên cộng thêm các vòng quay đầy đủ (2π radian = 360°) vào giá trị chính. Công thức thứ hai sử dụng tính chất sin(π - θ) = sin(θ), cho góc bù ở cung phần tư thứ II.

Cách sử dụng máy tính này

1. Nhập giá trị sin: Nhập bất kỳ số nào từ -1 đến 1. Đây có thể là một phân số đơn giản như 0,5, một số thập phân gần đúng như 0,707 hoặc một giá trị chính xác.
2. Chọn đơn vị đầu ra: Chọn độ cho mục đích sử dụng hàng ngày hoặc radian cho các ứng dụng giải tích và vật lý.
3. Đặt độ chính xác: Chỉ định số chữ số thập phân (1-1000). Độ chính xác tiêu chuẩn (10 chữ số) phù hợp cho hầu hết các ứng dụng.
4. Nhấp vào Tính toán: Xem kết quả của bạn với hình ảnh vòng tròn đơn vị, giải pháp từng bước và cả giá trị độ và radian.

Arcsin trên vòng tròn đơn vị

Vòng tròn đơn vị cung cấp một cách hiểu trực quan về arcsin. Đối với bất kỳ điểm (cos(θ), sin(θ)) nào trên vòng tròn đơn vị, tọa độ y bằng sin(θ). Khi bạn tính arcsin(x), bạn đang tìm góc θ nơi đường nằm ngang y = x cắt vòng tròn đơn vị trong vùng giá trị chính (nửa bên phải của vòng tròn).

Các quan sát chính:

• Giá trị sin tương ứng với tọa độ y trên vòng tròn đơn vị
• arcsin(x) cho góc được đo từ trục x dương
• Kết quả dương là các góc ở nửa trên (cung phần tư thứ I)
• Kết quả âm là các góc ở nửa dưới (cung phần tư thứ IV)

Mối quan hệ với các hàm lượng giác nghịch đảo khác

Arcsin là một trong ba hàm lượng giác nghịch đảo chính:

• arcsin(x): Trả về góc từ giá trị sin, phạm vi [-π/2, π/2]
• arccos(x): Trả về góc từ giá trị cos, phạm vi [0, π]
• arctan(x): Trả về góc từ giá trị tan, phạm vi (-π/2, π/2)

Một đồng nhất thức hữu ích kết nối arcsin và arccos: arcsin(x) + arccos(x) = π/2 cho tất cả x trong [-1, 1].

Ứng dụng của Arcsin

Vật lý và Kỹ thuật

Arcsin xuất hiện trong các tính toán liên quan đến chuyển động sóng, chuyển động của vật ném và quang học. Ví dụ, định luật Snell về khúc xạ có thể được giải bằng arcsin để tìm góc khúc xạ.

Hàng hải và Thiên văn học

Việc tính toán vị trí, góc nâng và khoảng cách thường yêu cầu các hàm lượng giác nghịch đảo bao gồm cả arcsin.

Đồ họa máy tính

Tính toán quay, dò tia và biến đổi 3D thường sử dụng arcsin để chuyển đổi giữa tọa độ và góc.

Xử lý tín hiệu

Tính toán góc pha trong các mạch xoay chiều và phân tích tín hiệu liên quan đến arcsin khi làm việc với sóng hình sin.

Đạo hàm và Nguyên hàm của Arcsin

Đối với các ứng dụng giải tích:

Câu hỏi thường gặp

Arcsin (sin nghịch đảo) là gì?

Arcsin, được viết là arcsin(x) hoặc sin^-1(x), là hàm nghịch đảo của sin. Với một giá trị x cho trước từ -1 đến 1, arcsin trả về góc θ có sin bằng x. Giá trị chính luôn nằm trong khoảng -90° đến 90° (hoặc -π/2 đến π/2 radian).

Tại sao arcsin chỉ được xác định cho các giá trị từ -1 đến 1?

Hàm sin chỉ có thể cho ra các giá trị trong phạm vi [-1, 1], bất kể góc đầu vào là bao nhiêu. Vì arcsin là nghịch đảo của sin, nên nó chỉ có thể chấp nhận các đầu vào là các giá trị sin hợp lệ. Bất kỳ số nào nằm ngoài [-1, 1] đều không thể là sin của bất kỳ góc thực nào, vì vậy arcsin không xác định cho các đầu vào như vậy.

Sự khác biệt giữa arcsin tính bằng độ và radian là gì?

Độ và radian là hai đơn vị khác nhau để đo góc. Một vòng quay đầy đủ bằng 360° hoặc 2π radian. Để chuyển đổi từ radian sang độ, hãy nhân với 180/π. Ví dụ: arcsin(0,5) = 30° = π/6 radian. Cả hai đều biểu thị cùng một góc, chỉ khác đơn vị.

Những giá trị arcsin phổ biến nào tôi nên biết?

Các giá trị arcsin phổ biến bao gồm: arcsin(0) = 0°, arcsin(1/2) = 30°, arcsin(√2/2) = 45°, arcsin(√3/2) = 60°, arcsin(1) = 90°. Đầu vào âm cho kết quả góc âm: arcsin(-1/2) = -30°, v.v. Những giá trị này bắt nguồn từ các góc đặc biệt của vòng tròn đơn vị.

Làm thế nào để tìm tất cả các góc có cùng giá trị sin?

Nếu θ₀ là giá trị chính (từ arcsin), thì tất cả các góc có cùng giá trị sin là: θ = θ₀ + 2πk hoặc θ = (π - θ₀) + 2πk, với mọi số nguyên k. Điều này là do sin dương ở cả cung phần tư thứ I và thứ II, và quy luật lặp lại sau mỗi 2π radian (360°).

Phạm vi giá trị chính của arcsin là gì?

Giá trị chính của arcsin được xác định trong khoảng [-π/2, π/2] radian, hoặc [-90°, 90°] độ. Hạn chế này đảm bảo arcsin là một hàm thực thụ (một đầu ra cho mỗi đầu vào). Phạm vi này bao gồm các góc ở cung phần tư thứ I (dương) và cung phần tư thứ IV (âm).

Tài nguyên bổ sung

• Hàm Lượng Giác Ngược - Wikipedia
• Inverse Sine - Wolfram MathWorld