ระยะทางแบบระบุทิศทาง (Signed Distance) จากจุดไปยังระนาบหมายถึงอะไร?

ระยะทางแบบระบุทิศทางจะบอกว่าจุดนั้นอยู่ด้านใดของระนาบ ค่าบวกหมายถึงจุดอยู่ด้านเดียวกับเวกเตอร์แนวฉากของระนาบ ในขณะที่ค่าลบหมายถึงอยู่ด้านตรงข้าม หากระยะทางเป็นศูนย์ แสดงว่าจุดนั้นอยู่บนระนาบพอดี

สูตรนี้สามารถใช้กับ 2 มิติ (ระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง) ได้หรือไม่?

ได้ สูตร d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) คือสูตรในรูป 2 มิติสำหรับระยะทางจากจุด (x₀, y₀) ไปยังเส้นตรง Ax + By + C = 0 โดยสูตรจุดถึงระนาบใน 3 มิติเป็นการขยายแนวคิดนี้โดยตรง

เครื่องคำนวณระยะทางจากจุดถึงระนาบ

Q: จุดปลายเส้นตั้งฉากจากจุดไปยังระนาบคืออะไร?

จุดปลายเส้นตั้งฉาก (Foot of Perpendicular) คือจุดบนระนาบที่อยู่ใกล้กับจุดที่กำหนดมากที่สุด หาได้จากการฉายจุดลงบนระนาบตามทิศทางของเวกเตอร์แนวฉาก ถ้า P คือจุดและ n คือเวกเตอร์แนวฉาก จุดปลายคือ Foot = P - t·n โดยที่ t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²)

Q: ฉันจะกำหนดสมการระนาบ Ax + By + Cz + D = 0 ได้อย่างไร?

สมการระนาบ Ax + By + Cz + D = 0 กำหนดโดยสัมประสิทธิ์สี่ตัว: A, B, C (ส่วนประกอบของเวกเตอร์แนวฉากกับระนาบ) และ D (ค่าคงที่ที่กำหนดตำแหน่งของระนาบ) จุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันสามารถกำหนดระนาบได้ หรือใช้เวกเตอร์แนวฉากและจุดหนึ่งจุดบนระนาบ

คำนวณระยะทางตั้งฉากที่สั้นที่สุดจากจุด (x₀, y₀, z₀) ไปยังระนาบ Ax + By + Cz + D = 0 พร้อมแสดงวิธีทำทีละขั้นตอน, จุดตัดบนระนาบ, การจำลองภาพ 3 มิติแบบโต้ตอบ และการวิเคราะห์ทางเรขาคณิต

เครื่องคำนวณระยะทางจากจุดถึงระนาบ

ลองดูตัวอย่าง:

พื้นฐาน (1,2,3) → 2x−y+2z−5=0 จุดกำเนิด → ระนาบ z=5 (3,−1,4) → x+y+z=6 (5,5,5) → x+2y−2z+3=0

P พิกัดของจุด

x₀

y₀

z₀

π สมการระนาบ: Ax + By + Cz + D = 0

Ax + By + Cz + D = 0

ความแม่นยำ (ทศนิยม):

Embed เครื่องคำนวณระยะทางจากจุดถึงระนาบ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณระยะทางจากจุดถึงระนาบ

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณระยะทางจากจุดถึงระนาบ — เครื่องมือเรขาคณิต 3 มิติแบบโต้ตอบที่คำนวณระยะทางตั้งฉากที่สั้นที่สุดจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ พร้อมสูตรทีละขั้นตอน, จุดปลายเส้นตั้งฉาก, ภาพจำลอง 3 มิติที่หมุนได้ และการวิเคราะห์ทางเรขาคณิตโดยละเอียด ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียน วิศวกร หรือผู้ที่ชื่นชอบคณิตศาสตร์ เครื่องมือนี้จะช่วยให้การคำนวณระยะทางใน 3 มิติทำได้ทันใจและมองเห็นภาพได้ชัดเจน

สูตรระยะทางจากจุดถึงระนาบ

ระยะทางตั้งฉาก (ที่สั้นที่สุด) จากจุด $P(x_0, y_0, z_0)$ ไปยังระนาบ $Ax + By + Cz + D = 0$ คือ:

ระยะทางจากจุดถึงระนาบ

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

โดยที่:

$A, B, C$ คือส่วนประกอบของ เวกเตอร์แนวฉาก (normal vector) ของระนาบ
$D$ คือค่าคงที่ในสมการระนาบ
$(x_0, y_0, z_0)$ คือพิกัดของจุด
ตัวหาร $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ คือ ขนาดของเวกเตอร์แนวฉาก

ความเข้าใจเกี่ยวกับสูตร

ทำไมสูตรนี้ถึงใช้งานได้?

สูตรระยะทางนี้มาจากการฉายเวกเตอร์จากจุดใดๆ บนระนาบไปยังจุด P ลงบนเวกเตอร์แนวฉากหนึ่งหน่วยของระนาบ หาก Q เป็นจุดใดๆ บนระนาบ ระยะทางตั้งฉากจะเป็น:

$$d = |(\vec{QP}) \cdot \hat{n}| = \frac{|\vec{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

เนื่องจาก $\vec{n} = (A, B, C)$ และจุด Q ใดๆ บนระนาบสอดคล้องกับ $Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D = 0$ ผลคูณจุด (dot product) จึงลดรูปเหลือ $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$

ระยะทางแบบระบุทิศทาง (Signed Distance)

เมื่อเอาค่าสัมบูรณ์ออก คุณจะได้ ระยะทางแบบระบุทิศทาง:

ระยะทางแบบระบุทิศทาง

$$d_{\text{signed}} = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

บวก: จุดอยู่ด้านเดียวกับเวกเตอร์แนวฉาก
ลบ: จุดอยู่ด้านตรงข้าม
ศูนย์: จุดอยู่บนระนาบพอดี

จุดปลายเส้นตั้งฉาก (Foot of Perpendicular)

จุดปลายเส้นตั้งฉาก คือจุดบนระนาบที่อยู่ใกล้กับจุดที่กำหนดมากที่สุด หาได้จากการเคลื่อนจาก P ไปตามทิศทางแนวฉากในทางลบด้วยระยะทางที่เท่ากับระยะทางแบบระบุทิศทาง:

จุดปลายเส้นตั้งฉาก

$$F = P - \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \vec{n}$$

โดยที่ $\vec{n} = (A, B, C)$ คือเวกเตอร์แนวฉาก พารามิเตอร์ $t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}$ แทนระยะทางที่เราต้องเดินทางจากจุด P ตามแนวทิศทางแนวฉากเพื่อให้ถึงระนาบ

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

กรอกพิกัดจุด: ใส่ค่า x₀, y₀, z₀ สำหรับจุดในพื้นที่ 3 มิติ รองรับทั้งเลขลบและทศนิยม
กรอกสมการระนาบ: ใส่ค่า A, B, C, D สำหรับระนาบ Ax + By + Cz + D = 0 อย่างน้อยหนึ่งใน A, B, C ต้องไม่เป็นศูนย์
ตั้งค่าความแม่นยำ: เลือกจำนวนตำแหน่งทศนิยมสำหรับผลลัพธ์
คลิก คำนวณ: ดูระยะทาง, จุดปลายเส้นตั้งฉาก, แนวฉากหนึ่งหน่วย, วิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน และภาพจำลอง 3 มิติ
โต้ตอบกับมุมมอง 3 มิติ: ลากเพื่อหมุนและสำรวจความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต

สูตรระยะทางที่เกี่ยวข้อง

สูตร	คำอธิบาย	มิติ
จุดถึงระนาบ	$d = \frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	3 มิติ
จุดถึงเส้นตรง (2 มิติ)	$d = \frac{\|Ax_0+By_0+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}$	2 มิติ
จุดถึงจุด	$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$	3 มิติ
ระนาบขนานกัน	$d = \frac{\|D_1 - D_2\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$	3 มิติ

การประยุกต์ใช้งานทั่วไป

กราฟิกคอมพิวเตอร์และการพัฒนาเกม

ระยะทางจากจุดถึงระนาบเป็นพื้นฐานใน การตรวจจับการชน (collision detection) เพื่อดูว่าวัตถุตัดกับพื้นผิวหรือไม่ นอกจากนี้ยังใช้ใน frustum culling เพื่อกำหนดว่าวัตถุใดที่กล้องมองเห็น และในอัลกอริทึม shadow mapping

วิศวกรรมและ CAD

วิศวกรใช้การคำนวณนี้สำหรับ การวิเคราะห์พิกัดความเผื่อ (tolerance analysis) เพื่อให้แน่ใจว่าชิ้นส่วนตรงตามข้อกำหนด, การวัดความเบี่ยงเบนของพื้นผิว และ การควบคุมคุณภาพ ในการผลิต เครื่องจักร CNC อาศัยระยะทางจุดถึงระนาบในการคำนวณเส้นทางของเครื่องมือ

ฟิสิกส์และการนำทาง

ในทางฟิสิกส์ สูตรนี้ช่วยคำนวณระยะทางจากประจุจุดไปยังระนาบตัวนำ หรือระดับความสูงของเครื่องบินเหนือพื้นผิวภูมิประเทศที่เอียง ระบบ GPS ใช้การคำนวณที่คล้ายกันเพื่อกำหนดตำแหน่งเทียบกับระนาบอ้างอิง

แมชชีนเลิร์นนิงและวิทยาศาสตร์ข้อมูล

ใน Support Vector Machines (SVM) ระยะขอบ (margin) ระหว่างคลาสจะถูกคำนวณเป็นระยะทางจากจุดข้อมูลไปยังไฮเปอร์เพลนที่แบ่งแยก แนวคิดนี้ขยายจากสูตร 3 มิติไปสู่มิติที่สูงขึ้นโดยธรรมชาติ

คำถามที่พบบ่อย

สูตรหาระยะทางจากจุดไปยังระนาบคืออะไร?

ระยะทางตั้งฉากจากจุด P(x₀, y₀, z₀) ไปยังระนาบ Ax + By + Cz + D = 0 คือ d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) ซึ่งจะได้ระยะทางที่สั้นที่สุดที่ตั้งฉากกับระนาบเสมอ

จุดปลายเส้นตั้งฉากจากจุดไปยังระนาบคืออะไร?

จุดปลายเส้นตั้งฉากคือจุดบนระนาบที่อยู่ใกล้จุดที่กำหนดมากที่สุด หาได้จากการฉายจุดลงบนระนาบตามแนวเวกเตอร์แนวฉาก: F = P − t·n โดยที่ t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²) และ n = (A, B, C)

ระยะทางแบบระบุทิศทางจากจุดไปยังระนาบหมายถึงอะไร?

ระยะทางแบบระบุทิศทางบ่งบอกว่าจุดอยู่ด้านใดของระนาบ ค่าบวกหมายถึงด้านเดียวกับเวกเตอร์แนวฉาก ค่าลบหมายถึงด้านตรงข้าม และศูนย์หมายถึงจุดอยู่บนระนาบ ซึ่งมีประโยชน์ในการตรวจจับการชนและการจัดประเภทครึ่งพื้นที่ (half-space classification)

ฉันจะกำหนดสมการระนาบ Ax + By + Cz + D = 0 ได้อย่างไร?

สัมประสิทธิ์ A, B, C คือเวกเตอร์แนวฉากของระนาบ และ D เป็นตัวระบุตำแหน่งระนาบ หากทราบจุด Q บนระนาบและเวกเตอร์แนวฉาก (A, B, C) จะได้ D = −(Ax_Q + By_Q + Cz_Q) คุณยังสามารถหาจุดสมการจากจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันได้โดยใช้ผลคูณไขว้ (cross product)

สูตรนี้ใช้กับ 2 มิติ (ระยะทางจากจุดถึงเส้นตรง) ได้หรือไม่?

ได้! สูตร 2 มิติสำหรับระยะทางจากจุด (x₀, y₀) ไปยังเส้นตรง Ax + By + C = 0 คือ d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) สูตร 3 มิติเป็นรูปทั่วไปของแนวคิดนี้ในมิติที่สูงขึ้น

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณระยะทางจากจุดถึงระนาบ" ที่ https://MiniWebtool.com/th// จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 18 ก.พ. 2026

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

เครื่องคำนวณระยะทางจากจุดถึงระนาบ

ตัวบล็อกโฆษณาของคุณทำให้เราไม่สามารถแสดงโฆษณาได้

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณระยะทางจากจุดถึงระนาบ

สูตรระยะทางจากจุดถึงระนาบ

ความเข้าใจเกี่ยวกับสูตร

ทำไมสูตรนี้ถึงใช้งานได้?

ระยะทางแบบระบุทิศทาง (Signed Distance)

จุดปลายเส้นตั้งฉาก (Foot of Perpendicular)

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

สูตรระยะทางที่เกี่ยวข้อง

การประยุกต์ใช้งานทั่วไป

กราฟิกคอมพิวเตอร์และการพัฒนาเกม

วิศวกรรมและ CAD

ฟิสิกส์และการนำทาง

แมชชีนเลิร์นนิงและวิทยาศาสตร์ข้อมูล

คำถามที่พบบ่อย

สูตรหาระยะทางจากจุดไปยังระนาบคืออะไร?

จุดปลายเส้นตั้งฉากจากจุดไปยังระนาบคืออะไร?

ระยะทางแบบระบุทิศทางจากจุดไปยังระนาบหมายถึงอะไร?

ฉันจะกำหนดสมการระนาบ Ax + By + Cz + D = 0 ได้อย่างไร?

สูตรนี้ใช้กับ 2 มิติ (ระยะทางจากจุดถึงเส้นตรง) ได้หรือไม่?

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

เครื่องมือเด่น:

สูตร	คำอธิบาย	มิติ
จุดถึงระนาบ	\(d = \frac{\|Ax_0+By_0+Cz_0+D\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)	3 มิติ
จุดถึงเส้นตรง (2 มิติ)	\(d = \frac{\|Ax_0+By_0+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)	2 มิติ
จุดถึงจุด	\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\)	3 มิติ
ระนาบขนานกัน	\(d = \frac{\|D_1 - D_2\|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)	3 มิติ