馬可夫鏈穩態分布計算機

歡迎使用馬可夫鏈穩態分布計算機，這是一個強大的數學工具，用於計算任何有限馬可夫鏈的長期平穩分布。輸入您的轉移矩陣，即可立即查看穩態機率、互動式狀態轉移圖、收斂視覺化以及詳細的逐步解決方案。非常適合研究隨機過程的學生、研究人員和專業人士。

什麼是穩態分布？

馬可夫鏈的穩態分布（也稱為平穩分布）是一個機率向量 \(\pi\)，滿足：

這意味著如果系統以分布 \(\pi\) 開始，則在任何次數的轉移後仍保持為 \(\pi\)。直觀上，\(\pi_i\) 代表系統在狀態 \(i\) 中度過的長期時間比例。

核心概念

如何求解穩態

穩態向量 \(\pi\) 可以透過求解從 \(\pi P = \pi\) 推導出的線性方程組來找到：

1. 重寫方程： \(\pi P = \pi\) 變為 \(\pi(P - I) = 0\)，或等效於 \((P^T - I)\pi^T = 0\)。
2. 添加歸一化： 用 \(\pi_1 + \pi_2 + \cdots + \pi_n = 1\) 替換其中一個冗餘方程。
3. 求解系統： 使用高斯消去法或矩陣方法來找到 \(\pi\)。

對於遍歷鏈，無論起始分布如何，重複乘法都會收斂到唯一的穩態。

如何使用此計算機

1. 輸入轉移矩陣： 輸入您的矩陣，每行換行。數值可以用逗號或空格分隔。每行總和必須等於 1。
2. 添加狀態標籤（選填）： 為您的狀態提供描述性名稱（例如：晴天, 雨天），以逗號分隔。
3. 設置小數精度： 選擇結果的小數位數（2-15 位）。
4. 計算： 點擊「計算馬可夫鏈穩態分布」查看完整分析，包括平穩分布、收斂圖表、狀態圖和逐步解法。

理解您的結果

穩態向量

主要輸出是向量 \(\pi = (\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n)\)，其中每個 \(\pi_i\) 代表處於狀態 \(i\) 的長期機率。機率最高的狀態稱為優勢狀態。

收斂圖表

顯示機率分布如何從均勻分布開始，透過與 P 連續相乘而演變。收斂速度越快，表示鏈的混合程度越強。

狀態轉移圖

一個互動式的視覺化表示，其中：

• 節點大小反映穩態機率
• 連線粗細代表轉移機率
• 曲線箭頭顯示轉移方向
• 自環代表留在相同狀態的機率

實際應用場景

何時存在唯一的穩態？

當馬可夫鏈具有遍歷性（同時具備不可約性和非週期性）時，它具有唯一的穩態分布：

• 不可約性 (Irreducible)： 每個狀態都可以從其他任何狀態到達（無斷開的部分）
• 非週期性 (Aperiodic)： 通過任何狀態的所有循環長度的最大公因數為 1（無固定週期性）

如果鏈是可約的或週期的，它可能仍有平穩分布，但可能不唯一，且不保證從所有初始分布都能收斂。

常見問題

什麼是馬可夫鏈的穩態分布？

穩態（或平穩）分布是一個機率向量 π，滿足 πP = π，其中 P 是轉移矩陣。它代表系統在每個狀態下花費時間的長期比例，無論初始狀態為何。對於不可約且非週期的馬可夫鏈，穩態分布是唯一的。

如何計算穩態機率？

要找到穩態向量 π，需要解線性方程組 πP = π，並滿足所有機率總和為 1 (Σπᵢ = 1) 的約束條件。這相當於在歸一化約束下求解 (Pᵀ - I)π = 0。您也可以使用冪疊代法：將初始分布反覆乘以 P 直到收斂。

馬可夫鏈何時具有唯一的穩態分布？

當馬可夫鏈既是不可約的（每個狀態都可以從其他任何狀態到達）又是非週期的（鏈不會以固定週期循環）時，它具有唯一的穩態分布。這些屬性共同使該鏈具有遍歷性，保證收斂到唯一的平穩分布。

馬可夫鏈中的平均回歸時間是什麼？

狀態 i 的平均回歸時間是從狀態 i 開始，返回到狀態 i 所需的期望步驟數。對於遍歷馬可夫鏈，平均回歸時間等於 1/πᵢ，其中 πᵢ 是狀態 i 的穩態機率。具有較高穩態機率的狀態具有較短的平均回歸時間。

轉移矩陣和穩態向量有什麼區別？

轉移矩陣 P 是一個 n×n 矩陣，其中 P(i,j) 給出了一步內從狀態 i 移動到狀態 j 的機率，每行總和為 1。穩態向量 π 是一個 1×n 的機率向量，代表跨狀態的長期分布。P 描述了單步動態，而 π 則描述了平衡行為。

額外資源

• 馬可夫鏈 - 維基百科
• 平穩分布 - 維基百科
• 隨機矩陣 - 維基百科