直角座標轉極座標轉換器

歡迎使用直角座標轉極座標轉換器，這是一款將直角座標 \((x, y)\) 轉換為極座標 \((r, \theta)\) 的專業級工具。本轉換器支援 1 到 1000 位小數的可調精確度、互動式可視化以及逐步解題過程，專為學生、工程師、科學家及任何從事座標幾何工作的人士設計。

什麼是直角座標轉極座標轉換？

將直角座標轉換為極座標，意味著將點的位置從矩形網格系統 \((x, y)\) 重新表示為徑向系統 \((r, \theta)\)，其中：

• r (半徑) ─ 從原點到點的直線距離
• \(\theta\) (theta) ─ 從正 x 軸開始逆時針測量的角度

轉換公式

為什麼使用 atan2 而不是 arctan？

基本的 \(\arctan(y/x)\) 函式僅返回 \((-\pi/2, \pi/2)\) 範圍內的角度，這意味著它無法區分第一/第四象限或第二/第三象限。atan2(y, x) 函式會檢查兩個參數的符號，以返回 \((-\pi, \pi]\) 全範圍內的正確角度，並處理所有四個象限以及座標軸上的特殊情況。

瞭解四個象限

直角座標平面分為四個象限，每個象限都有不同的屬性：

如何使用此轉換器

1. 輸入 x 和 y 座標 ─ 使用輸入欄位或點擊快速範例以預填數值。
2. 選擇角度單位 ─ 選擇輸出角度為「度數」或「弧度」。
3. 設定精確度 ─ 輸入 1 到 1000 之間的數值或點擊預設按鈕。較高精確度將使用任意精度算術。
4. 點擊「轉換為極座標」 ─ 查看結果，包括互動式座標平面、象限分析和逐步解題過程。

特殊情況

• (x, 0) 當 x > 0： 正 x 軸 → r = x, θ = 0°
• (0, y) 當 y > 0： 正 y 軸 → r = y, θ = 90°
• (x, 0) 當 x < 0： 負 x 軸 → r = |x|, θ = 180°
• (0, y) 當 y < 0： 負 y 軸 → r = |y|, θ = -90°
• (0, 0)： 原點 → r = 0, θ 未定義

應用領域

• 物理學： 圓周運動、波動分析、電磁場、量子力學
• 工程學： 天線設計、雷達系統、訊號處理、控制系統
• 數學： 複數、極座標積分、向量分析
• 電腦圖形學： 旋轉變換、粒子系統、程序化生成
• 導航： GPS 系統、航海與航空方位計算
• 機器人學： 路徑規劃、機械手臂運動學、LIDAR 數據處理

高精確度的優勢

標準計算機和程式語言受限於大約 15-16 位有效數字 (IEEE 754 雙精度)。本轉換器使用 mpmath 任意精度算術函式庫，可實現高達 1000 位小數 的計算，這對於以下情況至關重要：

• 需要極高數值準確性的科學研究
• 驗證數值演算法的結果
• 浮點數限制的教學示範
• 對精確度要求極高的工程應用

常見問題解答

什麼是直角座標轉極座標轉換？

直角座標轉極座標轉換是將由 (x, y) 座標描述的點轉換為極座標形式 (r, θ)，其中 r 是與原點的距離，θ 是與正 x 軸的角度。公式為 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) 且 \(\theta = \text{atan2}(y, x)\)。

為什麼在極座標轉換中使用 atan2 而不是 arctan？

atan2(y, x) 函式能正確處理所有四個象限，不像基本的 arctan(y/x) 僅返回 \((-\pi/2, \pi/2)\) 範圍內的值。atan2 會考慮 x 和 y 的符號來確定正確的象限，提供 \((-\pi, \pi]\) 全範圍的角度。

直角座標中的四個象限是什麼？

第一象限：x > 0, y > 0 (角度 0° 到 90°)。第二象限：x < 0, y > 0 (角度 90° 到 180°)。第三象限：x < 0, y < 0 (角度 -180° 到 -90°)。第四象限：x > 0, y < 0 (角度 -90° 到 0°)。

如何將極座標轉換回直角座標？

要從極座標 (r, θ) 轉回直角座標 (x, y)，請使用：x = r × cos(θ) 且 y = r × sin(θ)。這是直角座標轉極座標的逆運算。

在原點 (0, 0) 會發生什麼？

在原點 (0, 0)，半徑 r = 0 且角度 θ 是未定義的，因為從一個點到其自身沒有唯一的方向。大多數實作慣例上會返回 θ = 0。

附加資源

• 極座標系 - 維基百科
• atan2 函式 - 維基百科
• 極座標 - Wolfram MathWorld