เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน

Q: นิยามทางคณิตศาสตร์ของการแปลงลาปลาซผกผันคืออะไร?

นิยามที่เป็นทางการคือ f(t) = L^{-1}{F(s)} = (1/2πi) ∫ e^(st) F(s) ds โดยที่อินทิกรัลนี้คืออินทิกรัลตามเส้นรอบรูป (contour integral) ในระนาบเชิงซ้อน แต่ในทางปฏิบัติมักใช้ตารางคู่ผลการแปลงและเทคนิคทางพีชคณิตแทนการหาค่าอินทิกรัลโดยตรง

คำนวณการแปลงลาปลาซผกผันของ F(s) เพื่อหา f(t) รับวิธีทำทีละขั้นตอน ภาพประกอบ และทำความเข้าใจการแปลงจากโดเมนความถี่เป็นโดเมนเวลา

ตัวอย่างด่วน - คลิกเพื่อโหลด

ป้อนฟังก์ชัน F(s)

F(s) =

ใช้ ^ สำหรับเลขยกกำลัง, * สำหรับการคูณ ตัวอย่าง: 1/(s^2+4), s/((s-1)*(s+2))

Embed เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน

คณิตศาสตร์วิศวกรรม

โดเมนความถี่

F(s)

ลาปลาซผกผัน

โดเมนเวลา

f(t)

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน ซึ่งเป็นเครื่องมืออันทรงพลังสำหรับการแปลงฟังก์ชันจากโดเมนความถี่เชิงซ้อน $ F(s) $ กลับไปยังโดเมนเวลา $ f(t) $ เครื่องมือนี้มีความจำเป็นอย่างยิ่งสำหรับวิศวกร, นักคณิตศาสตร์, นักฟิสิกส์ และนักเรียนที่ทำงานเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์, ระบบควบคุม, การวิเคราะห์วงจร และการประมวลผลสัญญาณ

การแปลงลาปลาซผกผันคืออะไร?

การแปลงลาปลาซผกผัน ทำหน้าที่ย้อนกลับกระบวนการแปลงลาปลาซ เมื่อกำหนดฟังก์ชัน $ F(s) $ ในโดเมน s (โดเมนความถี่เชิงซ้อน) มันจะหาฟังก์ชันโดเมนเวลา $ f(t) $ ที่สอดคล้องกัน สิ่งนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่

นิยามอย่างเป็นทางการ

การแปลงลาปลาซผกผัน

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds$$

ในทางปฏิบัติ การหาค่าอินทิกรัลตามเส้นรอบรูปนี้มักไม่ค่อยทำกันโดยตรง แต่จะใช้ตารางคู่ผลการแปลงที่ทราบค่าอยู่แล้วและเทคนิคการจัดรูปทางพีชคณิตเพื่อหาผลการแปลงผกผันแทน

คุณสมบัติหลัก

ความเป็นเชิงเส้น (Linearity)

$ \mathcal{L}^{-1}\{aF(s) + bG(s)\} = a f(t) + b g(t) $

ทฤษฎีบทการเลื่อนขนานที่หนึ่ง (First Shifting Theorem)

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s - a)\} = e^{at} f(t) $

ทฤษฎีบทการเลื่อนขนานที่สอง (Second Shifting Theorem)

$ \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a) f(t-a) $

ทฤษฎีบทคอนโวลูชัน (Convolution Theorem)

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau $

คู่ผลการแปลงที่พบบ่อย

$ F(s) $	$ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} $
$ \dfrac{1}{s} $	$ 1 $
$ \dfrac{n!}{s^{n+1}} $	$ t^n $
$ \dfrac{1}{s - a} $	$ e^{at} $
$ \dfrac{b}{s^2 + b^2} $	$ \sin(bt) $
$ \dfrac{s}{s^2 + b^2} $	$ \cos(bt) $
$ \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\sin(bt) $
$ \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\cos(bt) $

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

ป้อน F(s): ระบุฟังก์ชันของคุณโดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน ใช้ ^ สำหรับเลขยกกำลัง, * สำหรับการคูณ และชื่อฟังก์ชันมาตรฐาน
คลิกคำนวณ: กดปุ่มเพื่อคำนวณการแปลงลาปลาซผกผันโดยใช้คณิตศาสตร์เชิงสัญลักษณ์
ดูผลลัพธ์: ดูฟังก์ชันโดเมนเวลา $ f(t) $, วิธีทำทีละขั้นตอน และกราฟแสดงผลของทั้งสองฟังก์ชัน

การประยุกต์ใช้งาน

ระบบควบคุม: วิเคราะห์ผลตอบสนองของระบบโดยการแปลงฟังก์ชันถ่ายโอนเป็นพฤติกรรมในโดเมนเวลา
การวิเคราะห์วงจร: แก้โจทย์วงจร RLC และหาผลตอบสนองชั่วครู่ (transient responses)
การประมวลผลสัญญาณ: เข้าใจผลตอบสนองของตัวกรองและการแปลงสัญญาณ
สมการเชิงอนุพันธ์: หาผลเฉลยในรูปแบบปิด (closed-form) ของสมการ ODE ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่
ระบบทางกล: วิเคราะห์การสั่นสะเทือน, การหน่วง และผลตอบสนองทางกล

คู่มือรูปแบบการป้อนข้อมูล

ตัวดำเนินการพื้นฐาน: +, -, *, /, ^ (ยกกำลัง)
วงเล็บ: ใช้ ( และ ) สำหรับจัดกลุ่ม
ตัวแปร: ใช้ s เป็นตัวแปรความถี่เชิงซ้อน
ฟังก์ชัน: exp(x), sin(x), cos(x), sqrt(x), log(x)
ค่าคงที่: ใช้ pi สำหรับ $\pi$ และ E สำหรับค่าคงตัวของออยเลอร์

คำถามที่พบบ่อย

การแปลงลาปลาซผกผันคืออะไร?

การแปลงลาปลาซผกผันคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แปลงฟังก์ชัน F(s) จากโดเมนความถี่เชิงซ้อน (s-domain) กลับไปยังโดเมนเวลา f(t) ซึ่งเป็นการดำเนินการย้อนกลับของการแปลงลาปลาซ และมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในงานวิศวกรรมและฟิสิกส์

ฉันจะใช้งานเครื่องคำนวณลาปลาซผกผันอย่างไร?

ป้อนฟังก์ชัน F(s) ของคุณโดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน (เช่น 1/(s-7), s/(s^2+4), exp(-2*s)/s) จากนั้นคลิก 'คำนวณ' เพื่อรับผลการแปลงลาปลาซผกผัน f(t) พร้อมทั้งวิธีทำทีละขั้นตอนและการแสดงกราฟของทั้งฟังก์ชันโดเมนความถี่และโดเมนเวลา

รองรับฟังก์ชันประเภทใดบ้าง?

เครื่องคำนวณนี้รองรับฟังก์ชันตรรกยะ (พหุนามหารด้วยพหุนาม), ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล, ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่อยู่ในนิพจน์โดเมน s และการผสมผสานของฟังก์ชันเหล่านี้ รูปแบบทั่วไปที่รองรับ ได้แก่ 1/(s-a), n!/(s^(n+1)), s/(s^2+b^2) และนิพจน์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

นิยามทางคณิตศาสตร์ของการแปลงลาปลาซผกผันคืออะไร?

นิยามที่เป็นทางการคือ $ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds $ โดยที่อินทิกรัลนี้คืออินทิกรัลตามเส้นรอบรูป (contour integral) ในระนาบเชิงซ้อน แต่ในทางปฏิบัติมักใช้ตารางคู่ผลการแปลงและเทคนิคทางพีชคณิตแทนการหาค่าอินทิกรัลโดยตรง

ทำไมการแปลงลาปลาซผกผันจึงสำคัญในงานวิศวกรรม?

วิศวกรใช้การแปลงลาปลาซผกผันเพื่อวิเคราะห์ระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (LTI systems), แก้ปัญหาในวงจรไฟฟ้า, ออกแบบระบบควบคุม และทำความเข้าใจการประมวลผลสัญญาณ มันช่วยแปลงสมการพีชคณิตในโดเมน s กลับมาเป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ในโดเมนเวลา

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครองคำนวณลาปลาซผกผน/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดย ทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 24 ม.ค. 2026

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

เครื่องคำนวณคอนโวลูชัน

เครื่องคำนวณการแปลงลาปลาซ

เครื่องคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์

\( F(s) \)	\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} \)
\( \dfrac{1}{s} \)	\( 1 \)
\( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \)	\( t^n \)
\( \dfrac{1}{s - a} \)	\( e^{at} \)
\( \dfrac{b}{s^2 + b^2} \)	\( \sin(bt) \)
\( \dfrac{s}{s^2 + b^2} \)	\( \cos(bt) \)
\( \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\sin(bt) \)
\( \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\cos(bt) \)

เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณลาปลาซผกผัน

การแปลงลาปลาซผกผันคืออะไร?

นิยามอย่างเป็นทางการ

คุณสมบัติหลัก

คู่ผลการแปลงที่พบบ่อย

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

การประยุกต์ใช้งาน

คู่มือรูปแบบการป้อนข้อมูล

คำถามที่พบบ่อย

การแปลงลาปลาซผกผันคืออะไร?

ฉันจะใช้งานเครื่องคำนวณลาปลาซผกผันอย่างไร?

รองรับฟังก์ชันประเภทใดบ้าง?

นิยามทางคณิตศาสตร์ของการแปลงลาปลาซผกผันคืออะไร?

ทำไมการแปลงลาปลาซผกผันจึงสำคัญในงานวิศวกรรม?

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

แคลคูลัส:

เครื่องมือเด่น: