行列の掛け算電卓

行列の掛け算電卓

行列の掛け算電卓を使用すると、2つの行列を掛け合わせ、その計算過程をすべて確認することができます。結果の行列の各要素は、行列Aの行と行列Bの列のドット積として計算されます。この電卓は最大5×5の行列をサポートしており、インタラクティブなハイライト機能によってどの行と列から各結果要素が生成されたかを正確に把握でき、MathJaxでレンダリングされた数式により数学的な手順をすべて表示します。

行列の掛け算の仕組み

サイズ m×n の行列Aと、サイズ n×p の行列Bが与えられたとき、その積 C = A × B はサイズ m×p の行列となります。各要素は次のように計算されます：

$$C[i,j] = \sum_{k=1}^{n} A[i,k] \times B[k,j]$$

これは、Aのi番目の行とBのj番目の列を取り出し、対応する要素を掛け合わせ、その積をすべて合計することを意味します。この操作はドット積（または内積）と呼ばれます。

行列の掛け算の主な性質

行列の掛け算電卓の使い方

1. サイズを設定する — 行列Aの行と列、および行列Bの列を選択します。Aの列数は自動的にBの行数として設定されます。
2. 値を入力する — 各セルに数値を入力します。プリセットされた行列を使用するには、クイック例を利用してください。
3. 計算する — 「A × B を計算」をクリックすると、結果の行列とステップごとの内訳が表示されます。
4. 結果を確認する — 結果のセルにマウスを合わせるかクリックすると、その要素のドット積がカラーハイライトで視覚化されます。「すべて再生」を使うと、すべての要素を自動で順番に確認できます。

次元の適合性ルール

実世界での応用

よくある質問

行列の掛け算とは何ですか？

行列の掛け算は、2つの行列A（m×n）とB（n×p）を用いて、結果の行列C（m×p）を生成する演算です。各要素C[i][j]は、行列Aのi行目と行列Bのj列目のドット積として計算されます。

なぜAの列数とBの行数が等しくなければならないのですか？

ドット積が定義されるためには、掛け合わせる2つのベクトルの長さが同じである必要があります。Aの行にはn個の要素があり、Bの列にはn個の要素があるため、Aの列数はBの行数と一致している必要があります。

行列の掛け算に交換法則は成り立ちますか？

いいえ、行列の掛け算に交換法則は成り立ちません。一般的に、A × B は B × A と等しくありません。結果のサイズが異なる場合もありますし、両方の積が定義されてサイズが同じであっても、通常は値が異なります。

行列の掛け算におけるドット積（内積）とは何ですか？

要素C[i][j]のドット積は、行列Aのi行目の各要素と行列Bのj列目の対応する要素を掛け合わせ、それらの積をすべて合計することで計算されます。例えば、i行が [a₁, a₂, a₃] でj列が [b₁, b₂, b₃] の場合、ドット積は a₁×b₁ + a₂×b₂ + a₃×b₃ となります。

行列の掛け算の計算量は？

標準的な行列の掛け算アルゴリズムでは、m×n行列とn×p行列の計算量は O(m × n × p) です。シュトラッセンのアルゴリズムのような、より効率的なアルゴリズムでは、正方行列に対して約 O(n²·⁸⁰⁷) まで削減できます。