確率分布電卓

確率分布電卓

私たちの確率分布電卓へようこそ。これは、詳細なステップバイステップの解説を提供しながら、さまざまな確率分布の確率、累積確率、および分位数を計算するために設計された包括的なツールです。この電卓は、学生、教師、および確率や統計を扱うすべての人に最適です。

確率分布電卓の特徴

• ステップバイステップの解説：確率計算に関与する各ステップを理解する。
• ユーザーフレンドリーなインターフェース：簡単にパラメータを入力し、即座に結果を得る。
• 複数の分布をサポート：正規分布、二項分布、ポアソン分布、指数分布、および一様分布。

確率分布の理解

確率分布は、確率がランダム変数の値にどのように分布しているかを説明します。以下は、各サポートされている分布の公式と比較です。

正規分布

正規分布は、平均 \( \mu \) と標準偏差 \( \sigma \) によって特徴付けられる連続確率分布です。

• PDF: \( f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{- \dfrac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• CDF: \( F(x) = \dfrac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \right] \)
• 分位関数：\( x = \mu + \sigma \Phi^{-1}(p) \)

二項分布

二項分布は、成功確率 \( p \) の独立した \( n \) 回のベルヌーイ試行における成功数を表す離散確率分布です。

• PMF: \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \)
• CDF: \( F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1 - p)^{n - i} \)
• 分位関数：与えられた \( p \) の CDF の逆。

ポアソン分布

ポアソン分布は、固定された時間または空間の間隔内で発生するイベントの数が与えられた確率を表す離散確率分布です。

• PMF: \( P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = P(X \leq k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \dfrac{\lambda^{i}}{i!} \)
• 分位関数：与えられた \( p \) の CDF の逆。

指数分布

指数分布は、ポアソン過程におけるイベント間の時間をモデル化するために一般的に使用される連続確率分布です。

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{- \lambda x} \) for \( x \geq 0 \)
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{- \lambda x} \)
• 分位関数：\( x = -\dfrac{1}{\lambda} \ln(1 - p) \)

一様分布

一様分布は、区間 \( [a, b] \) 内の同じ長さのすべての区間が等しく確率である連続確率分布です。

• PDF: \( f(x) = \dfrac{1}{b - a} \) for \( a \leq x \leq b \)
• CDF: \( F(x) = \dfrac{x - a}{b - a} \) for \( a \leq x \leq b \)
• 分位関数：\( x = a + p(b - a) \)

比較と応用

各分布は異なる目的に役立ち、異なるタイプのデータをモデル化します：

• 正規分布：平均値を中心に集まる連続データに使用されます。自然科学および社会科学に適用可能です。
• 二項分布：固定された回数の独立したベルヌーイ試行における成功数をモデル化します。品質管理や遺伝学に使用されます。
• ポアソン分布：固定された間隔内でのイベント数を数えるのに適しています。電気通信や交通工学に使用されます。
• 指数分布：ポアソン過程におけるイベント間の時間をモデル化します。信頼性工学や待ち行列理論に使用されます。
• 一様分布：区間内の等確率を表します。シミュレーションやランダムサンプリングに使用されます。

確率分布電卓の使用方法

• 使用したい分布を選択します。
• 計算タイプを選択します：PDF/PMF、CDF、または分位数 (逆 CDF)。
• 必要なパラメータと値または確率を入力します。
• 「計算」をクリックして入力を処理します。
• 詳細なステップバイステップの解説とともに結果を表示します。

追加リソース

• 確率分布 - ウィキペディア
• 統計と確率 - カーンアカデミー
• MIT オープンコースウェア - 確率と統計の入門

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