Calcolatore della Regola di Simpson

Calcolatore della Regola di Simpson

Il Calcolatore della Regola di Simpson è un potente strumento di integrazione numerica che approssima gli integrali definiti adattando curve paraboliche (regola 1/3) o curve cubiche (regola 3/8) attraverso punti campionati. A differenza della regola del trapezio che utilizza linee rette tra i punti, la regola di Simpson cattura la curvatura della funzione, fornendo un'accuratezza di ordine O(h⁴) — rendendolo uno dei metodi più utilizzati nel calcolo, nell'ingegneria e nel calcolo scientifico.

Caratteristiche principali

Come usare il Calcolatore della Regola di Simpson

1. Inserisci la tua funzione — Digita un'espressione matematica f(x) come x^2, sin(x), exp(-x^2) o qualsiasi combinazione di funzioni supportate.
2. Imposta i limiti di integrazione — Inserisci il limite inferiore (a) e il limite superiore (b) e scegli il numero di sottointervalli (n).
3. Scegli una regola — Seleziona la Regola di Simpson 1/3 (richiede n pari, adattato automaticamente se dispari) o la Regola 3/8 (richiede n divisibile per 3, adattato automaticamente).
4. Clicca su Calcola — Lo strumento calcola l'approssimazione con una soluzione completa passaggio dopo passaggio renderizzata in MathJax.
5. Esplora i risultati — Interagisci con la visualizzazione parabolica, esamina le aree per segmento, confronta i metodi e studia l'analisi di convergenza.

Spiegazione della Regola di Simpson 1/3

La regola di Simpson 1/3 composta divide [a, b] in n sottointervalli uguali (n deve essere pari) e adatta una parabola ogni tre punti consecutivi:

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

dove \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \). I coefficienti seguono lo schema 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1. Ogni coppia di sottointervalli utilizza un polinomio quadratico che passa per tre punti, catturando la curvatura della funzione molto meglio dell'interpolazione lineare.

Spiegazione della Regola di Simpson 3/8

La regola 3/8 utilizza l'interpolazione cubica su gruppi di tre sottointervalli (n deve essere divisibile per 3):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

I coefficienti seguono lo schema 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1. Sebbene entrambe le regole raggiungano l'accuratezza O(h⁴), la regola 3/8 è utile quando n non è pari.

Confronto dell'Errore

Raddoppiare n riduce l'errore della regola di Simpson di circa 16 volte, rispetto a sole 4 volte per la regola del trapezio. Questo fa sì che la regola di Simpson converga molto più velocemente per le funzioni regolari.

Quando usare ciascuna regola

• Regola di Simpson 1/3 — Ideale per la maggior parte delle applicazioni. Usala quando n è pari (o può essere reso pari). È la più accurata per valutazione di funzione tra le tre formule di Newton-Cotes di base.
• Regola di Simpson 3/8 — Usala quando n è un multiplo di 3 ma non è pari. Utile anche nelle formule composte quando si combina con la regola 1/3 per gestire conteggi di sottointervalli dispari.
• Regola del Trapezio — Da preferire quando i dati sono spaziati in modo non uniforme, n è dispari e piccolo, o la semplicità conta più dell'accuratezza. È migliore anche per funzioni con discontinuità nelle derivate superiori.

Funzioni Supportate

Questo calcolatore supporta una vasta gamma di funzioni matematiche:

• Polinomi: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
• Trigonometriche: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
• Esponenziali/Logaritmiche: exp(x), ln(x), log(x)
• Radici: sqrt(x)
• Costanti: pi, e
• Combinazioni: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

Domande Frequenti