格拉姆-施密特計算機

歡迎使用格拉姆-施密特計算機，這是一個全面的線性代數工具，使用經典的格拉姆-施密特過程將一組線性無關的向量單位正交化。獲取詳細的逐步投影過程、正交基與單位正交基、交互式向量可視化以及正交性驗證。非常適合學生、教育工作者、工程師以及任何從事向量空間工作的人員。

什麼是格拉姆-施密特過程？

格拉姆-施密特過程（以 Jørgen Pedersen Gram 和 Erhard Schmidt 命名）是一種在內積空間中將一組向量單位正交化的方法。給定一組線性無關的向量 \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}\)，該過程會生成一組跨越相同子空間的單位正交向量 \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}\)。

算法步驟

格拉姆-施密特過程對每個向量分兩個階段進行：

1. 正交化： 減去在所有先前計算出的正交向量上的投影
2. 標準化： 除以模長以獲得單位向量

其中 \(\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle\) 表示內積（點積），而 \(\\|\mathbf{u}\| = \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}\) 是歐幾里得範數（模長）。

如何使用此計算機

1. 輸入您的向量： 輸入線性無關的向量，每行一個。可以使用圓括號、方括號或僅以逗號分隔的值。所有向量必須具有相同的維度（2 到 10）。
2. 設置小數精度： 選擇結果中顯示的小數位數（2-10）。
3. 點擊單位正交化： 計算機執行完整的格拉姆-施密特過程並顯示完整結果。
4. 查看結果： 檢查單位正交基、交互式可視化、逐步投影和正交性驗證。

理解結果

正交基 (\(\mathbf{u}_k\))

標準化之前的中間正交向量。這些向量相互垂直，但模長可能不同。正交基保留了原始向量的整數/有理數結構，這在理論研究中時而更受青睞。

單位正交基 (\(\mathbf{e}_k\))

最終輸出 —— 既相互垂直（正交）又具有單位長度（標準化）的向量。這是格拉姆-施密特過程的標準輸出，也是最常用的形式。

驗證表

計算機通過計算所有成對點積（對於不同對應為 0）和所有範數（應為 1）來驗證單位正交性。這作為過程成功的數學證明。

與 QR 分解的聯繫

格拉姆-施密特過程是計算矩陣 QR 分解 的經典方法。如果您將輸入向量排列為矩陣 \(A\) 的列，將單位正交向量排列為矩陣 \(Q\) 的列，則：

其中 \(Q\) 是一個正交矩陣（其列為單位正交向量），而 \(R\) 是一個上三角矩陣（其元素為投影係數）。QR 分解在數值線性代數中對於解決最小二乘法問題、計算特徵值和矩陣分解至關重要。

應用領域

經典與修正格拉姆-施密特

此計算機實現的是經典格拉姆-施密特 (CGS) 算法。對於使用浮點運算的數值計算，修正格拉姆-施密特 (MGS) 算法通過針對部分正交化的集合（而非原始向量）重新計算投影，提供了更好的數值穩定性。然而，在精確算術（或高精度計算）中，兩種算法產生的結果是相同的。

常見問題解答

什麼是格拉姆-施密特過程？

格拉姆-施密特過程是一種在內積空間中將一組向量單位正交化的算法。它選取一組線性無關的向量，並生成一組跨越相同子空間的單位正交集。通過減去每個向量在所有先前向量上的投影使其正交，然後將其縮放至單位長度。

為什麼格拉姆-施密特過程很重要？

格拉姆-施密特過程在線性代數中至關重要，具有許多應用：矩陣的 QR 分解、解決最小二乘法問題、構建函數空間的正交基（例如勒讓德多項式）、信號處理、計算機圖形學和數值方法。單位正交基簡化了許多計算，因為基向量彼此垂直且具有單位長度。

正交向量和單位正交向量有什麼區別？

正交向量彼此垂直（它們的內積為零），但可以具有任何長度。單位正交向量既是正交的，且具有單位長度（模長 = 1）。格拉姆-施密特過程首先使向量正交，然後將其標準化以產生一組單位正交集。

如果輸入向量是線性相關的會怎樣？

如果輸入向量是線性相關的，格拉姆-施密特過程將在某個步驟產生一個零向量（當一個向量位於先前向量的張成空間內時）。此計算機可檢測線性相關性並報錯。要使用此計算機，所有輸入向量必須是線性無關的。

格拉姆-施密特與 QR 分解有什麼關係？

QR 分解將矩陣 A 分解為 Q（正交矩陣）和 R（上三角矩陣）。應用於 A 列向量的格拉姆-施密特過程會產生 Q 的列向量，而投影係數則構成 R 的元素。這種聯繫使得格拉姆-施密特成為計算 QR 分解的經典方法。

其他資源

• 格拉姆-施密特過程 - 維基百科
• QR 分解 - 維基百科
• 單位正交性 - 維基百科