球體方程式計算機

歡迎使用球體方程式計算機，這是一個全面的 3D 幾何工具，用於尋找球體的標準方程式和一般方程式。無論您是已知圓心座標和半徑，還是已知直徑的兩個端點，此計算機都能提供分步推導、互動式 3D 可視化以及包括表面積和體積在內的完整幾何特性。

什麼是球體方程式？

球體是三維空間中與稱為圓心的定點距離相等的所有點的集合。該常數距離即為半徑。球體方程式是圓形方程式在 3D 空間的擴展，增加了一個第三座標變量。

標準式（圓心-半徑式）

圓心為 \((a, b, c)\) 且半徑為 \(r\) 的球體標準方程式為：

其中：

• \((a, b, c)\) 是球體的圓心
• \(r\) 是半徑（正實數）
• \((x, y, z)\) 代表球體表面上的任意點

一般式（展開式）

展開標準式可得到一般方程式：

其中：

• \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = -2c\)
• \(G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2\)
• 圓心：\(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}, -\frac{F}{2}\right)\)
• 半徑：\(r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} + \frac{F^2}{4} - G}\)

如何根據直徑端點求球體方程式

如果您已知直徑的兩個端點 \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) 和 \(P_2(x_2, y_2, z_2)\)：

1. 找到圓心（直徑的中點）： $$C = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2},\; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$$
2. 找到半徑（直徑長度的一半）： $$r = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
3. 寫出方程式：將圓心和半徑代入標準式中。

球體 vs 圓形：關鍵區別

如何使用此計算機

1. 選擇輸入模式： 如果已知圓心點和半徑，請選擇「圓心與半徑」；如果已知兩個對徑點，請選擇「直徑的兩個端點」。
2. 輸入數值： 填寫座標欄位。可以使用快速範例按鈕查看工具的實際操作。
3. 設置精確度： 選擇結果的小數位數（2-15 位）。
4. 計算： 點擊「計算球體方程式」以獲取標準式、一般式、分步推導、幾何特性和互動式 3D 可視化。

計算的幾何特性

• 表面積： \(A = 4\pi r^2\) — 球體外部表面的總面積
• 體積： \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) — 球體所包圍的空間
• 直徑： \(d = 2r\) — 通過圓心的最長弦
• 大圓周長： \(C = 2\pi r\) — 最大橫截面的周長

實際應用

物理與工程

球體方程式用於模擬天體、氣泡、壓力容器和電磁場。該方程式有助於在 3D 模擬中計算距離、相交和包含檢查。

電腦圖形與遊戲開發

球體方程式用於碰撞檢測中的包圍體、光線追蹤中的光線與球體相交測試，以及程序化地形生成。

地理與導航

地球在許多計算中被近似為球體。球體方程式有助於 GPS 座標轉換和衛星軌道計算。

建築與設計

穹頂結構、天文館和測地線設計依賴於球體幾何。建築師使用球體方程式來計算結構尺寸和材料需求。

常見問題

什麼是球體的標準方程式？

圓心為 \((a, b, c)\) 且半徑為 \(r\) 的球體標準方程式為 \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\)。此方程式代表 3D 空間中所有與中心點距離恰好為 \(r\) 的點。

如何根據直徑的兩個端點求球體方程式？

已知兩個端點 \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) 和 \(P_2(x_2, y_2, z_2)\)：先找到圓心（中點），計算半徑（兩點距離的一半），然後代入標準式。

球體方程式的一般式是什麼？

一般式為 \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\)，其中 \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = -2c\)，且 \(G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2\)。圓心為 \((-D/2, -E/2, -F/2)\)，半徑 \(r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 + F^2/4 - G}\)。

球體和圓形方程式有什麼區別？

圓形方程式 \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) 位於 2D 空間，圓心為 \((h, k)\)。球體方程式增加了一個 z 座標項。球體是圓形在 3D 空間的推廣。

如何從一般方程式中找到圓心和半徑？

從 \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\) 中，圓心為 \((-D/2, -E/2, -F/2)\)，半徑 \(r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 + F^2/4 - G}\)。對於有效的球體，根號下的表達式必須為正數。

額外資源

• 球體 - 維基百科
• n-球面（高維推廣） - 維基百科