向量投影計算機

歡迎使用向量投影計算機，這是一款功能強大的線性代數工具，可計算一個向量在另一個向量上的投影，並提供逐步公式分解、互動式幾何視覺化和正交分解。無論您是在學習線性代數、解決物理問題，還是在機器學習中分析數據，此計算機都能讓向量投影變得直觀且易於理解。

什麼是向量投影？

向量投影是線性代數中的一項基本運算，用於找出一個向量在另一個向量方向上的分量。給定向量 a 和 b，a 在 b 上的投影會產生一個沿著 b 的新向量，代表 a 投射在由 b 定義的直線上的「陰影」。

有兩個相關概念：

• 純量投影（分量）：代表沿 b 方向投影的有向長度的單一數值
• 向量投影：一個沿著 b 的向量，其大小等於純量投影的絕對值

向量投影公式

純量投影公式

正交分解

任何向量 a 都可以相對於 b 分解為兩個相互垂直的分量：

其中 \(\vec{a}_{\perp} = \vec{a} - \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}\) 是 a 垂直於 b 的分量（也稱為向量排斥）。

如何使用此計算機

1. 選擇維度： 使用切換按鈕選擇 2D 或 3D 向量。
2. 輸入向量： 輸入向量 a（要投影的向量）和向量 b（投影的方向）的分量。
3. 計算： 點擊「計算投影」查看完整結果，包括向量投影、純量投影、正交分量、向量夾角以及逐步解答。
4. 探索視覺化： 查看顯示所有向量及其幾何關係的互動式圖表。

理解您的結果

• 向量投影： 沿著 b 的投影向量
• 純量投影： 投影的有向長度（如果夾角 < 90° 則為正，如果夾角 > 90° 則為負）
• 正交分量： a 垂直於 b 的部分
• 向量夾角： 以度數和弧度表示的夾角 θ
• 投影純量 (a·b/b·b)： 應用於 b 以獲得投影向量的倍數

向量投影的應用

特殊情況

• 平行向量 (θ = 0°): a 在 b 上的投影等於 a 本身（按大小比例縮放）
• 反平行向量 (θ = 180°): 投影指向與 b 相反的方向
• 垂直向量 (θ = 90°): 投影為零向量 —— a 在 b 方向上沒有分量
• 純量投影 = 0: 向量相互正交
• 負純量投影: 向量之間的夾角超過 90°

常見問題解答

什麼是向量投影？

a 在 b 上的向量投影是 a 在 b 方向上的分量。其計算公式為 proj_b(a) = (a·b / b·b) × b。結果是一個與 b 方向相同（或相反）的向量，代表 a 有多少部分是沿著 b 的。

純量投影和向量投影有什麼區別？

純量投影給出一個代表沿 b 方向投影的有向長度的數值，計算公式為 comp_b(a) = a·b / |b|。向量投影給出的結果是一個包含大小和方向的向量，計算公式為 proj_b(a) = (a·b / b·b) × b。純量投影是向量投影的大小（帶正負號）。

什麼是正交分量（向量排斥）？

正交分量（也稱為向量排斥）是向量 a 中垂直於向量 b 的部分。其計算公式為 a_⊥ = a − proj_b(a)。投影和正交分量共同將 a 分解為兩個垂直分量，其總和等於原始向量。

純量投影可以是負數嗎？

是的。負的純量投影意味著兩個向量之間的夾角大於 90°，因此向量 a 的分量指向與 b 相反的方向。純量投影的絕對值仍代表投影陰影的長度。

為什麼向量投影在機器學習中很重要？

向量投影是主成分分析 (PCA) 等技術的基礎，PCA 將高維數據投影到最大變異數的方向上。它也用於回歸（將響應向量投影到特徵空間）、推薦系統和降維，使其成為數據科學中最廣泛使用的運算之一。

額外資源

• 向量投影 - 維基百科
• 點積 - 維基百科