เครื่องคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

เครื่องคำนวณเมทริกซ์ผกผัน คำนวณเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์จัตุรัสใดๆ โดยใช้ การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan elimination) พร้อมแสดงขั้นตอนการดำเนินการตามแถวอย่างละเอียด กรอกเมทริกซ์ขนาด 2×2, 3×3, 4×4, 5×5 หรือ 6×6 เพื่อรับค่าเมทริกซ์ผกผันที่แม่นยำในรูปแบบเศษส่วน โดยไม่มีข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ เครื่องมือนี้ยังคำนวณดีเทอร์มิแนนต์และตรวจสอบผลลัพธ์โดยยืนยันว่า A × A⁻¹ = I

เมทริกซ์ผกผันคืออะไร?

เมทริกซ์ผกผัน ของเมทริกซ์จัตุรัส \(A\) เขียนแทนด้วย \(A^{-1}\) คือเมทริกซ์เฉพาะตัวที่เป็นไปตามเงื่อนไข:

$$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I$$

โดยที่ \(I\) คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ เฉพาะ เมทริกซ์ไม่เอกภพ (non-singular) (เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์) เท่านั้นที่จะมีเมทริกซ์ผกผัน

วิธีหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน

ขั้นตอนที่ 1. เลือกขนาดของเมทริกซ์จัตุรัส (2×2 ถึง 6×6) โดยใช้ปุ่ม +/− หรือคลิกตัวอย่างด่วนเพื่อโหลดเมทริกซ์ที่ตั้งค่าไว้ล่วงหน้า

ขั้นตอนที่ 2. กรอกค่าเมทริกซ์ของคุณลงในตาราง คุณสามารถพิมพ์จำนวนเต็ม ทศนิยม หรือเศษส่วน เช่น 1/3 หรือ -5/2 ใช้ปุ่ม Tab, Enter หรือปุ่มลูกศรเพื่อเลื่อนระหว่างช่อง ช่องแนวทแยงมุมจะถูกไฮไลต์ด้วยสีฟ้า

ขั้นตอนที่ 3. คลิก คำนวณเมทริกซ์ผกผัน เครื่องคำนวณจะเพิ่มเมทริกซ์เอกลักษณ์เข้าไป [A|I] และใช้การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนเพื่อแปลงให้เป็น [I|A⁻¹]

ขั้นตอนที่ 4. ตรวจสอบเมทริกซ์ผกผันทั้งในรูปแบบเศษส่วนที่แม่นยำและทศนิยม สลับมุมมองได้โดยใช้แท็บ การแสดงภาพฮีตแมปจะช่วยให้เห็นขนาดและเครื่องหมายของแต่ละตำแหน่งได้อย่างรวดเร็ว

ขั้นตอนที่ 5. ศึกษาการแก้ปัญหาทีละขั้นตอนโดยคลิกดูการดำเนินการตามแถวแต่ละครั้ง หรือกดปุ่มเล่นเพื่อแสดงภาพเคลื่อนไหว ส่วนการตรวจสอบจะยืนยันว่า A × A⁻¹ = I

สูตรเมทริกซ์ผกผันขนาด 2×2

สำหรับเมทริกซ์ขนาด 2×2 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) เมทริกซ์ผกผันคือ:

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อ \(ad - bc \neq 0\) เท่านั้น สำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่กว่า การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (วิธีที่เครื่องคำนวณนี้ใช้) เป็นแนวทางมาตรฐานที่นิยมใช้กัน

วิธีการคำนวณเมทริกซ์ผกผัน

คุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

การประยุกต์ใช้เมทริกซ์ผกผัน

คำถามที่พบบ่อย

เมทริกซ์ผกผันคืออะไร?

เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์จัตุรัส A เขียนแทนด้วย A⁻¹ คือเมทริกซ์เฉพาะตัวที่ทำให้ A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I เมื่อ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสที่มีค่าดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ (เมทริกซ์ไม่เอกภพ) เท่านั้นที่มีเมทริกซ์ผกผัน

จะหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนได้อย่างไร?

สร้างเมทริกซ์แต่งเติม [A|I] โดยวางเมทริกซ์เอกลักษณ์ไว้ข้างๆ A จากนั้นใช้การดำเนินการตามแถวเพื่อลดรูปฝั่งซ้ายให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ฝั่งขวาจะกลายเป็น A⁻¹ โดยอัตโนมัติ สิ่งนี้เป็นไปได้เพราะการดำเนินการตามแถวแต่ละครั้งเทียบเท่ากับการคูณด้วยเมทริกซ์มูลฐานทางด้านซ้าย

เมทริกซ์จะไม่มีเมทริกซ์ผกผันเมื่อใด?

เมทริกซ์จะเป็นเอกภพ (หาเมทริกซ์ผกผันไม่ได้) เมื่อค่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์ สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อแถวหรือคอลัมน์มีความสัมพันธ์เชิงเส้นต่อกัน หมายความว่าแถวหนึ่งสามารถเขียนในรูปของการผสมกันของแถวอื่นได้ ในระหว่างการกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน สิ่งนี้จะปรากฏเป็นค่าหลักที่เป็นศูนย์

ความสัมพันธ์ระหว่างดีเทอร์มิแนนต์และเมทริกซ์ผกผันคืออะไร?

เมทริกซ์จะมีเมทริกซ์ผกผันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ สำหรับเมทริกซ์ 2×2 [[a,b],[c,d]] เมทริกซ์ผกผันคือ (1/det) × [[d,-b],[-c,a]] เมื่อ det = ad - bc สำหรับเมทริกซ์ที่มีขนาดใหญ่กว่า สูตรเมทริกซ์ผูกพันจะให้ A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)

เมทริกซ์ที่ไม่ใช่จัตุรัสมีเมทริกซ์ผกผันได้หรือไม่?

เมทริกซ์ที่ไม่ใช่จัตุรัสไม่มีเมทริกซ์ผกผันสองด้านที่แท้จริง อย่างไรก็ตาม พวกมันอาจมีตัวผกผันด้านซ้าย (หากมีระดับขั้นคอลัมน์เต็ม) หรือตัวผกผันด้านขวา (หากมีระดับขั้นแถวเต็ม) Moore-Penrose pseudoinverse เป็นการขยายแนวคิดนี้ให้ครอบคลุมเมทริกซ์ทั้งหมด