เครื่องคำนวณสมการทรงกลม

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณสมการทรงกลม เครื่องมือเรขาคณิต 3 มิติที่ครอบคลุมสำหรับค้นหาสมการมาตรฐานและสมการทั่วไปของทรงกลม ไม่ว่าคุณจะทราบพิกัดจุดศูนย์กลางและรัศมี หรือจุดปลายสองจุดของเส้นผ่านศูนย์กลาง เครื่องคำนวณนี้จะให้การอนุพัทธ์ทีละขั้นตอน การแสดงภาพ 3 มิติแบบโต้ตอบ และคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์ รวมถึงพื้นที่ผิวและปริมาตร

สมการของทรงกลมคืออะไร?

ทรงกลม คือเซตของจุดทั้งหมดในพื้นที่สามมิติที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดคงที่ที่เรียกว่า จุดศูนย์กลาง ระยะห่างที่คงที่นั้นคือ รัศมี สมการของทรงกลมคือส่วนขยาย 3 มิติของสมการวงกลม โดยเพิ่มตัวแปรพิกัดที่สามเข้าไป

รูปแบบมาตรฐาน (รูปแบบจุดศูนย์กลาง-รัศมี)

สมการมาตรฐาน ของทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง \((a, b, c)\) และรัศมี \(r\) คือ:

โดยที่:

• \((a, b, c)\) คือจุดศูนย์กลางของทรงกลม
• \(r\) คือรัศมี (จำนวนจริงบวก)
• \((x, y, z)\) แทนจุดใดๆ บนพื้นผิวของทรงกลม

รูปแบบทั่วไป (รูปแบบกระจาย)

การกระจายรูปแบบมาตรฐานจะให้ สมการทั่วไป:

โดยที่:

• \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = -2c\)
• \(G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2\)
• จุดศูนย์กลาง: \(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}, -\frac{F}{2}\right)\)
• รัศมี: \(r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} + \frac{F^2}{4} - G}\)

วิธีหาสมการทรงกลมจากจุดปลายเส้นผ่านศูนย์กลาง

หากคุณทราบจุดปลายสองจุด \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) และ \(P_2(x_2, y_2, z_2)\) ของเส้นผ่านศูนย์กลาง:

1. หาจุดศูนย์กลาง (จุดกึ่งกลางของเส้นผ่านศูนย์กลาง): $$C = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2},\; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$$
2. หารัศมี (ครึ่งหนึ่งของความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง): $$r = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
3. เขียนสมการ โดยแทนค่าจุดศูนย์กลางและรัศมีลงในรูปแบบมาตรฐาน

ทรงกลม vs วงกลม: ความแตกต่างที่สำคัญ

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

1. เลือกโหมดการป้อนข้อมูล: เลือก "จุดศูนย์กลางและรัศมี" หากคุณทราบจุดศูนย์กลางและรัศมี หรือ "จุดปลายสองจุดของเส้นผ่านศูนย์กลาง" หากคุณทราบจุดที่อยู่ตรงข้ามกันสองจุด
2. ป้อนค่า: กรอกข้อมูลในช่องพิกัด ใช้ปุ่มตัวอย่างด่วนเพื่อดูการทำงานของเครื่องมือ
3. ตั้งค่าความแม่นยำ: เลือกจำนวนตำแหน่งทศนิยม (2-15) สำหรับผลลัพธ์ของคุณ
4. คำนวณ: คลิก "คำนวณสมการทรงกลม" เพื่อรับสมการมาตรฐาน สมการทั่วไป การอนุพัทธ์ทีละขั้นตอน คุณสมบัติทางเรขาคณิต และการแสดงภาพ 3 มิติแบบโต้ตอบ

คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่คำนวณได้

• พื้นที่ผิว: \(A = 4\pi r^2\) — พื้นที่ทั้งหมดของพื้นผิวด้านนอกของทรงกลม
• ปริมาตร: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) — พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยทรงกลม
• เส้นผ่านศูนย์กลาง: \(d = 2r\) — คอร์ดที่ยาวที่สุดที่ผ่านจุดศูนย์กลาง
• เส้นรอบวงวงกลมใหญ่: \(C = 2\pi r\) — เส้นรอบวงของหน้าตัดที่ใหญ่ที่สุด

การประยุกต์ใช้งานในโลกแห่งความเป็นจริง

ฟิสิกส์และวิศวกรรม

สมการทรงกลมใช้จำลองวัตถุบนท้องฟ้า ฟองอากาศ ถังความดัน และสนามแม่เหล็กไฟฟ้า สมการช่วยในการคำนวณระยะทาง การตัดกัน และการตรวจสอบการบรรจุในการจำลอง 3 มิติ

คอมพิวเตอร์กราฟิกและการพัฒนาเกม

สมการทรงกลมใช้สำหรับขอบเขตของปริมาตรในการตรวจจับการชน การทดสอบจุดตัดรังสีกับทรงกลมสำหรับการติดตามรังสี และการสร้างภูมิประเทศตามขั้นตอน

ภูมิศาสตร์และการนำทาง

โลกถูกประมาณเป็นทรงกลมสำหรับการคำนวณหลายอย่าง สมการทรงกลมช่วยในการแปลงพิกัด GPS และการคำนวณวงโคจรของดาวเทียม

สถาปัตยกรรมและการออกแบบ

โครงสร้างโดม ท้องฟ้าจำลอง และการออกแบบจีโอเดซิกขึ้นอยู่กับเรขาคณิตของทรงกลม สถาปนิกใช้สมการทรงกลมเพื่อคำนวณขนาดโครงสร้างและความต้องการวัสดุ

คำถามที่พบบ่อย

สมการมาตรฐานของทรงกลมคืออะไร?

สมการมาตรฐานของทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง \((a, b, c)\) และรัศมี \(r\) คือ \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\) สมการนี้แสดงถึงจุดทั้งหมดในพื้นที่ 3 มิติที่มีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับ \(r\) พอดี

จะหาสมการของทรงกลมจากจุดปลายสองจุดของเส้นผ่านศูนย์กลางได้อย่างไร?

เมื่อกำหนดจุดปลายสองจุด \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) และ \(P_2(x_2, y_2, z_2)\): ให้หาจุดศูนย์กลางเป็นจุดกึ่งกลาง คำนวณรัศมีเป็นครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างจุด และแทนค่าลงในรูปแบบมาตรฐาน

รูปแบบทั่วไปของสมการทรงกลมคืออะไร?

รูปแบบทั่วไปคือ \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\) โดยที่ \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = -2c\) และ \(G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2\) จุดศูนย์กลางคือ \((-D/2, -E/2, -F/2)\) และรัศมี \(r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 + F^2/4 - G}\)

สมการทรงกลมและสมการวงกลมแตกต่างกันอย่างไร?

สมการวงกลม \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) อยู่ใน 2 มิติที่มีจุดศูนย์กลาง \((h, k)\) สมการทรงกลมเพิ่มเทอมที่สามสำหรับพิกัด z ทรงกลมคือรูปทั่วไปใน 3 มิติของวงกลม

จะหาจุดศูนย์กลางและรัศมีจากสมการทั่วไปได้อย่างไร?

จาก \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\) จุดศูนย์กลางคือ \((-D/2, -E/2, -F/2)\) และรัศมี \(r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 + F^2/4 - G}\) สำหรับทรงกลมที่ใช้งานได้ นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรากที่สองต้องเป็นบวก

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

• ทรงกลม - Wikipedia
• n-sphere (การขยายมิติที่สูงขึ้น) - Wikipedia