双曲線関数電卓
双曲線関数 (sinh, cosh, tanh) とその逆関数 (asinh, acosh, atanh) を1〜1000桁の範囲で精度を調整して計算します。ステップバイステップの解決策、インタラクティブなグラフ、恒等式の検証機能を備えています。
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双曲線関数電卓
双曲線関数電卓へようこそ。これは、双曲線関数を非常に高い精度で計算するための強力なオンラインツールです。sinh, cosh, tanh およびその逆関数 (asinh, acosh, atanh) を最大1000桁の精度で計算し、ステップバイステップの解決策とインタラクティブな視覚化を提供します。
双曲線関数とは何ですか？
双曲線関数は三角関数に似ていますが、円ではなく双曲線を使用して定義されます。三角関数が単位円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点に関連するのに対し、双曲線関数は単位双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ 上の点に関連します。
主な3つの双曲線関数は以下の通りです：
- 双曲線正弦 (sinh): $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ と定義されます。
- 双曲線余弦 (cosh): $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ と定義されます。
- 双曲線正接 (tanh): $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ と定義されます。
双曲線関数の公式
基本的な双曲線関数の恒等式
三角関数が $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ を満たすように、双曲線関数は以下の基本的な恒等式を満たします：
$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$$
この恒等式は、cosh と sinh の指数関数的な定義から直接導かれ、任意の実数 x に対して検証できます。
双曲線関数の定義域と値域
| 関数 | 定義域 | 値域 | 偶奇性 |
|---|---|---|---|
| sinh(x) | すべての実数 | すべての実数 | 奇関数 |
| cosh(x) | すべての実数 | [1, +infinity) | 偶関数 |
| tanh(x) | すべての実数 | (-1, 1) | 奇関数 |
| asinh(x) | すべての実数 | すべての実数 | 奇関数 |
| acosh(x) | [1, +infinity) | [0, +infinity) | なし |
| atanh(x) | (-1, 1) | すべての実数 | 奇関数 |
この電卓の使い方
- 入力値を入力する：入力フィールドに数値を入力します。sinh, cosh, tanh, asinh の場合は任意の実数です。acosh の場合は1以上の値を入力します。atanh の場合は-1から1の間の値を入力します。
- 関数を選択する：関数カードまたはドロップダウンメニューを使用して、sinh, cosh, tanh（直接関数）または asinh, acosh, atanh（逆関数）から選択します。
- 精度を設定する：希望する小数点以下の桁数 (1-1000) を入力するか、10, 50, 100, 500桁などのプリセット値から選択します。
- 計算して結果を表示する：[計算] をクリックして、選択した精度の結果、ステップバイステップの計算、インタラクティブなグラフ、および関連する関数値を表示します。
双曲線関数の応用
物理学と相対性理論
特殊相対性理論では、双曲線関数は速度と速さ（ラピディティ）の関係を記述します。ローレンツ因子には cosh が含まれ、速度の加算には tanh が使用されます。また、波動方程式や熱伝導方程式の解にも登場します。
工学：カテナリー曲線
吊り下げられた鎖やケーブルは、方程式 $y = a \cosh(x/a)$ で記述されるカテナリー曲線を形成します。この形状は、吊り橋、送電線、セントルイスのゲートウェイ・アーチなどで見られます。
機械学習
tanh 関数は、ニューラルネットワークの活性化関数として広く使用されています。入力値を (-1, 1) の範囲にマッピングし、勾配を制限しながらネットワークが非線形関係を学習するのを助けます。
よくある質問
双曲線関数とは何ですか？
双曲線関数は三角関数に似ていますが、単位円ではなく単位双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ に基づいています。主な双曲線関数は、指数関数を使用して定義される sinh（双曲線正弦）、cosh（双曲線余弦）、および tanh（双曲線正接）です。
sinh(x) の公式は何ですか？
双曲線正弦は $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ と定義されます。これは奇関数であり、定義域と値域はすべての実数をカバーします。$\sinh(0) = 0$ です。
基本的な双曲線関数の恒等式は何ですか？
基本的な双曲線関数の恒等式は $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ であり、これは三角関数の恒等式 $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ に似ています。この恒等式は、x の任意の実数値に対して検証できます。
双曲線関数はどこで使用されますか？
双曲線関数は、物理学（特殊相対性理論、波動方程式）、工学（カテナリー曲線、信号処理）、建築（吊り橋、アーチ）、機械学習（ニューラルネットワークの tanh 活性化関数）など、多くの分野で登場します。
acosh(x) の定義域は何ですか？
逆双曲線余弦 acosh(x) は、cosh(x) が常に1以上の値を返すため、$x \geq 1$ に対してのみ定義されます。acosh の値域は $[0, +\infty)$ です。
参考文献
このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：
"双曲線関数電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/双曲線関数電卓/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/
by miniwebtool チーム。最終更新日：2026年1月13日
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