レンズの式計算機

レンズの式計算機は、薄レンズの式 \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v}\) を用いて、焦点距離 \(f\)、物体距離 \(u\)、像距離 \(v\) の3つの変数のいずれかを計算し、倍率、像の高さ、ディオプター単位のレンズの度数、および像の完全な性質（実像か虚像か、正立か倒立か、拡大か縮小か）を返します。右側のライブ光線図には3本の主要な光線が表示され、レンズがどのように像を結ぶかを一目で確認できます。

このレンズの式計算機の使い方

1. 計算したい変数を選択します：像距離 v、焦点距離 f、または物体距離 u。選択した変数の入力欄は自動的に非表示になります。残りの2つの既知の値を入力してください。
2. 凸レンズ（焦点距離が正）の場合は凸レンズ（収束）を、凹レンズ（焦点距離が負）の場合は凹レンズ（発散）を選択します。焦点距離は正の数として入力してください。電卓が符号を自動的に処理します。
3. 長さの単位（mm、cm、m）を選択し、既知の2つの距離を入力します。像の高さも計算したい場合は、必要に応じて物体の高さを入力してください。
4. 「レンズの式を解く」を押します。結果パネルに、未知の距離、倍率、像の性質、完全な光線図、およびLaTeXでレンダリングされた数式によるステップバイステップの導出過程が表示されます。
5. 上部にあるクイックサンプルのチップを使用すると、一般的なシナリオ（カメラレンズ、プロジェクター、拡大鏡、顕微鏡の接眼レンズ、人間の目、凹レンズ、および「f または u を求める」の2つのバリエーション）を即座に読み込むことができます。

このレンズの式計算機の特徴

薄レンズの式

ガウスのレンズ公式とも呼ばれる薄レンズの式は、レンズの焦点距離と、与えられた物体位置に対して像がどこに形成されるかを関連付けます：

\[ \dfrac{1}{f} \;=\; \dfrac{1}{u} \;+\; \dfrac{1}{v} \ ]

ここで、\(f\) はレンズの焦点距離、\(u\) は物体距離（この電卓で採用されている「実像を正とする」規則では常に正）、\(v\) は像距離です。\(v\) が正の場合、像はレンズを挟んで物体の反対側に形成されます。これはスクリーンに投影できる実像です。\(v\) が負の場合、像は物体と同じ側に形成されます。これは、光線を逆方向にたどることで目によってのみ確認できる虚像です。

倍率

線倍率（横倍率）\(m\) は、物体の高さに対する像の高さの比です。薄レンズモデルでは、以下のように表されます：

\[ m \;=\; -\,\dfrac{v}{u} \;=\; \dfrac{h_i}{h_o} \ ]

マイナス符号は向きを表します。正の \(m\) は像が正立（物体と同じ向き）であることを意味し、負の \(m\) は像が倒立（上下逆さま）であることを意味します。絶対値 \(|m|\) はサイズの比率を示し、1より大きければ拡大、1より小さければ縮小を意味します。カメラレンズは通常 \(|m| \ll 1\) で負の \(m\) になり、拡大鏡（虫眼鏡）は \(|m| > 1\) で正の \(m\) になります。

凸レンズ（収束）における像の形成パターン

凹レンズ（発散）における像の形成

凹レンズ（発散レンズ）は、物体をどこの位置に置いても、常に縮小された正立の虚像をつくり出します。像は物体とレンズの間に位置し、倍率は常に正で1未満になります。ドアののぞき穴（ドアビューアー）や、広角カメラアタッチメントの前群レンズに凹レンズが使用されるのはこのためです。広い景色を小さく正立した視野に収めることができます。

レンズの度数とディオプター

レンズの度数 \(P\) は、\(f\) がメートル単位で表されている場合の焦点距離の逆数です：\(P = 1/f\)（単位はディオプター (D)）。焦点距離が短いほど、度数が高く強いレンズであることを意味します。眼鏡やコンタクトレンズの処方箋はディオプターで表記されます。+2 D は焦点距離0.5 mの凸レンズを使って遠視を矯正し、−1 D は凹レンズを使って軽度の近視を矯正します。

符号規則のリファレンス

この計算機は、初等物理学の教科書で一般的な「実像を正とする」規則を使用しています：

• 物体距離 u：物体が入射光の側にある場合に正（通常のケース）。
• 像距離 v：レンズの反対側にできる実像の場合は正、物体と同じ側にできる虚像の場合は負。
• 焦点距離 f：凸レンズ（収束）の場合は正、凹レンズ（発散）の場合は負。
• 倍率 m：正立像の場合は正、倒立像の場合は負。
• 物体の高さ \(h_o\)：正（光軸の上側）として扱い、像の高さ \(h_i\) は m の符号を共有します。

よくある質問

なぜ焦点距離の符号が自動的に反転することがあるのですか？ 多くの教科書では、凹レンズをその絶対値（例：「5 cmの凹レンズ」）で説明し、学生が頭の中で負の符号を適用することを期待しています。ユーザーが使いやすいように、当電卓で凹レンズを選択して正の焦点距離を入力した場合、符号は自動的に負へと反転されます。逆に、凸レンズを選択して負の焦点距離を入力した場合は、組み合わせとして矛盾しているため、計算を停止して符号の修正を求めます。

計算機が像は無限遠にあると表示した場合はどうすればよいですか？ 物体がレンズの焦点にちょうど位置しています。レンズの式は \(1/v = 1/f - 1/u = 0\) となり、v は未定義（または無限大）になります。物理的には、出ていく光線が平行になり、有限の像を結ぶために交わることがありません。物体をレンズに少し近づけるか、少し遠ざけてください。

これは球面鏡（ミラー）にも使えますか？ 適切な符号規則を適用すれば、同じ形式の式 \(1/f = 1/u + 1/v\) が球面鏡にも適用されますが、その符号規則はレンズの場合とはわずかに異なります。この電卓はレンズの符号規則に基づいて構築されています。球面鏡の場合は、鏡に特化した符号を使用する写像公式の計算機を使用する必要があります。

線倍率と角倍率の違いは何ですか？ この電卓が返すのは横（線）倍率 \(m = -v/u\) であり、有限の大きさを持つ物体について、像の高さと物体の高さを比較したものです。角倍率は、目で見たときに像が張る角度と物体が張る角度を比較するもので、望遠鏡や顕微鏡で見かけの大きさを比較する際に重要な量ですが、これは観察距離に依存するため \(m\) とは異なります。