Calculadora de integral triple

Calculadora de integral triple

Bienvenido a la Calculadora de integral triple, una herramienta integral para calcular integrales triples con soluciones detalladas paso a paso y visualizaciones 3D. Ya sea que esté estudiando cálculo multivariable, resolviendo problemas de física o trabajando en aplicaciones de ingeniería, esta calculadora proporciona computación simbólica precisa tanto para integrales triples definidas como indefinidas.

¿Qué es una integral triple?

Una integral triple extiende el concepto de integración a tres dimensiones. Calcula la integral de una función $f(x, y, z)$ sobre una región tridimensional, escrita como:

Las integrales triples son fundamentales en el cálculo multivariable y tienen numerosas aplicaciones en física, ingeniería y matemáticas aplicadas.

Cómo funciona la integración triple

Integración iterada

Una integral triple sobre una caja rectangular se evalúa realizando tres integraciones simples sucesivas:

1. Integral interna: Integrar con respecto a la variable más interna (ej., $z$) mientras se trata a $x$ e $y$ como constantes.
2. Integral media: Integrar el resultado con respecto a la variable media (ej., $y$) mientras se trata a $x$ como constante.
3. Integral externa: Integrar con respecto a la variable más externa (ej., $x$).

Teorema de Fubini

Para funciones continuas sobre regiones rectangulares con límites constantes, el orden de integración se puede cambiar sin afectar el resultado. Esto se conoce como teorema de Fubini. Sin embargo, para regiones no rectangulares, se debe prestar cuidadosa atención al orden de integración y los límites.

Cómo usar esta calculadora

1. Ingrese la función: Ingrese la función $f(x, y, z)$ a integrar. Use notación estándar como x*y*z, sin(x)*cos(y) o exp(-x^2-y^2-z^2).
2. Especifique variables: Defina las tres variables de integración. La integral externa usa la primera variable, la media usa la segunda y la interna usa la tercera.
3. Establezca límites (opcional): Ingrese los límites inferior y superior para cada variable. Deje en blanco para integrales indefinidas. Admite expresiones como pi, pi/2 o valores numéricos.
4. Calcule: Haga clic en "Calcular integral triple" para ver la solución paso a paso y la visualización.

Funciones y notación compatibles

• Aritmética: +, -, *, /, ^ (potencia)
• Trigonométricas: sin, cos, tan, sinh, cosh
• Exponencial/Logarítmica: exp, ln
• Constantes: pi, e
• Multiplicación implícita: 2x se interpreta como 2*x

Aplicaciones de las integrales triples

Sistemas de coordenadas

Coordenadas cartesianas

El sistema predeterminado que utiliza coordenadas $(x, y, z)$. Es mejor para regiones rectangulares y funciones sin simetría obvia.

Coordenadas cilíndricas

Utiliza $(r, \theta, z)$ donde $x = r\\cos\\theta$, $y = r\\sin\\theta$. El elemento de volumen se convierte en $dV = r \, dr \, d\\theta \, dz$. Ideal para problemas con simetría circular o cilíndrica.

Coordenadas esféricas

Utiliza $(\\rho, \\phi, \\theta)$ donde $x = \\rho\\sin\\phi\\cos\\theta$, $y = \\rho\\sin\\phi\\sin\\theta$, $z = \\rho\\cos\\phi$. El elemento de volumen es $dV = \\rho^2 \\sin\\phi \, d\\rho \, d\\phi \, d\\theta$. Mejor para regiones esféricas.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una integral triple?

Una integral triple extiende la integración a tres dimensiones, calculando la integral de una función $f(x,y,z)$ sobre una región tridimensional. Se escribe como $\\iiint f(x,y,z) \, dV$ y se utiliza para calcular volúmenes, masas, centros de masa y otras propiedades de objetos 3D.

¿Cómo se evalúa una integral triple?

Una integral triple se evalúa realizando tres integraciones simples sucesivas, comenzando desde la integral más interna y trabajando hacia afuera. Para regiones rectangulares, integre con respecto a una variable mientras trata las otras como constantes, luego repita para las variables restantes.

¿Cuál es el orden de integración en las integrales triples?

El orden de integración se refiere a qué variable integra primero. Los órdenes comunes incluyen $dz \, dy \, dx$, $dy \, dz \, dx$, etc. Para regiones rectangulares con límites constantes, el orden no afecta el resultado final (teorema de Fubini), pero para regiones no rectangulares, cambiar el orden puede simplificar los cálculos.

¿Cuándo debo usar integrales triples?

Las integrales triples se utilizan al calcular propiedades de objetos tridimensionales: volúmenes de sólidos, masa de objetos con densidad variable, centro de masa, momentos de inercia, distribuciones de carga eléctrica y valores promedio de funciones sobre regiones 3D.

¿Cuál es la diferencia entre integrales triples definidas e indefinidas?

Una integral triple definida tiene límites específicos para las tres variables y produce un valor numérico. Una integral triple indefinida no tiene límites y produce una función (antiderivada) más constantes de integración. Las integrales definidas son más comunes en las aplicaciones.

¿Se pueden convertir las integrales triples a otros sistemas de coordenadas?

Sí, las integrales triples se pueden convertir a coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$ o coordenadas esféricas $(\\rho, \\phi, \\theta)$ cuando la región o el integrando tienen la simetría correspondiente. Esto a menudo simplifica el cálculo significativamente. El determinante jacobiano debe incluirse al cambiar de coordenadas.

Recursos adicionales

• Integral múltiple - Wikipedia
• Cálculo multivariable - Khan Academy

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Cálculo:

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