Calculadora de Distancia de un Punto a un Plano
Calcula la distancia perpendicular más corta de un punto (x₀, y₀, z₀) a un plano Ax + By + Cz + D = 0. Obtén la solución paso a paso, el pie de la perpendicular, visualización 3D interactiva y análisis geométrico.
Embed Calculadora de Distancia de un Punto a un Plano Widget
Tu bloqueador de anuncios impide que mostremos anuncios
MiniWebtool es gratis gracias a los anuncios. Si esta herramienta te ayudó, apóyanos con Premium (sin anuncios + herramientas más rápidas) o añade MiniWebtool.com a la lista de permitidos y recarga la página.
- O pásate a Premium (sin anuncios)
- Permite anuncios para MiniWebtool.com y luego recarga
Calculadora de Distancia de un Punto a un Plano
Bienvenido a la Calculadora de distancia punto plano — una herramienta interactiva de geometría 3D que calcula la distancia perpendicular más corta de un punto a un plano, con fórmulas paso a paso, el pie de la perpendicular, una visualización 3D arrastrable y un análisis geométrico detallado. Ya seas estudiante, ingeniero o entusiasta de las matemáticas, esta herramienta hace que el cálculo de distancias en 3D sea instantáneo y visual.
Fórmula de la distancia de un punto a un plano
La distancia perpendicular (más corta) desde un punto \(P(x_0, y_0, z_0)\) al plano \(Ax + By + Cz + D = 0\) es:
Donde:
- \(A, B, C\) son las componentes del vector normal al plano
- \(D\) es la constante en la ecuación del plano
- \((x_0, y_0, z_0)\) son las coordenadas del punto
- El denominador \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\) es la magnitud del vector normal
Entendiendo la fórmula
¿Por qué funciona esta fórmula?
La fórmula de la distancia proviene de proyectar el vector desde cualquier punto del plano al punto P sobre el vector normal unitario del plano. Si Q es cualquier punto del plano, entonces la distancia perpendicular es:
Dado que \(\vec{n} = (A, B, C)\) y cualquier punto Q en el plano satisface \(Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D = 0\), el producto escalar se simplifica a \(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\).
Distancia con signo
Al eliminar el valor absoluto, se obtiene la distancia con signo:
- Positiva: El punto está en el mismo lado que el vector normal
- Negativa: El punto está en el lado opuesto
- Cero: El punto se encuentra exactamente en el plano
Pie de la perpendicular
El pie de la perpendicular es el punto en el plano más cercano al punto dado. Se halla desplazándose desde P a lo largo de la dirección normal negativa una distancia igual a la distancia con signo:
Donde \(\vec{n} = (A, B, C)\) es el vector normal. El parámetro \(t = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}\) representa cuánto debemos viajar desde P a lo largo de la dirección normal para llegar al plano.
Cómo usar esta calculadora
- Ingrese las coordenadas del punto: Introduzca x₀, y₀, z₀ para el punto en el espacio 3D. Se admiten números negativos y decimales.
- Ingrese la ecuación del plano: Introduzca A, B, C, D para el plano Ax + By + Cz + D = 0. Al menos uno de los valores A, B, C debe ser distinto de cero.
- Establezca la precisión: Elija el número de decimales para los resultados.
- Haga clic en Calcular: Vea la distancia, el pie de la perpendicular, la normal unitaria, la solución paso a paso y la visualización 3D interactiva.
- Interactúe con la vista 3D: Arrastre la visualización para rotar y explorar la relación geométrica.
Fórmulas de distancia relacionadas
| Fórmula | Descripción | Dimensión |
|---|---|---|
| Punto a Plano | \(d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\) | 3D |
| Punto a Recta (2D) | \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\) | 2D |
| Punto a Punto | \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\) | 3D |
| Planos Paralelos | \(d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\) | 3D |
Aplicaciones comunes
Gráficos por computadora y desarrollo de videojuegos
La distancia de punto a plano es fundamental en la detección de colisiones, para determinar si los objetos intersectan con las superficies. También se utiliza en el frustum culling para determinar qué objetos son visibles para la cámara, y en algoritmos de shadow mapping.
Ingeniería y CAD
Los ingenieros utilizan este cálculo para el análisis de tolerancias (asegurando que las piezas cumplan con las especificaciones), la medición de la desviación de la superficie y el control de calidad en la fabricación. Las máquinas CNC dependen de la distancia de punto a plano para los cálculos de la trayectoria de la herramienta.
Física y navegación
En física, esta fórmula ayuda a calcular la distancia desde una carga puntual a un plano conductor, o la altitud de una aeronave sobre una superficie de terreno inclinada. Los sistemas GPS utilizan cálculos similares para el posicionamiento relativo a planos de referencia.
Aprendizaje automático y ciencia de datos
En las máquinas de vectores de soporte (SVM), el margen entre clases se calcula como la distancia desde los puntos de datos al hiperplano de separación. Este concepto se extiende naturalmente de la fórmula 3D a dimensiones superiores.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula para la distancia de un punto a un plano?
La distancia perpendicular del punto P(x₀, y₀, z₀) al plano Ax + By + Cz + D = 0 es d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Esto proporciona la distancia más corta, que siempre es perpendicular al plano.
¿Qué es el pie de la perpendicular de un punto a un plano?
El pie de la perpendicular es el punto del plano más cercano al punto dado. Se halla proyectando el punto sobre el plano a lo largo del vector normal: F = P − t·n, donde t = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)/(A² + B² + C²) y n = (A, B, C).
¿Qué significa la distancia con signo de un punto a un plano?
La distancia con signo indica en qué lado del plano se encuentra el punto. Positivo significa el mismo lado que el vector normal, negativo significa el lado opuesto y cero significa que el punto está en el plano. Esto es útil en la detección de colisiones y la clasificación de semiespacios.
¿Cómo defino la ecuación del plano Ax + By + Cz + D = 0?
Los coeficientes A, B, C forman el vector normal al plano, y D posiciona el plano. Dado un punto Q en el plano y la normal (A, B, C), entonces D = −(Ax_Q + By_Q + Cz_Q). También se puede derivar la ecuación a partir de tres puntos no colineales usando el producto vectorial.
¿Puede esta fórmula funcionar para 2D (distancia de punto a recta)?
¡Sí! El análogo en 2D para la distancia del punto (x₀, y₀) a la recta Ax + By + C = 0 es d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²). La fórmula 3D es una generalización directa de este concepto a dimensiones superiores.
Recursos adicionales
Cite este contenido, página o herramienta como:
"Calculadora de Distancia de un Punto a un Plano" en https://MiniWebtool.com/es// de MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
por el equipo de miniwebtool. Actualizado: 18 de febrero de 2026
También puede probar nuestro Solucionador de Matemáticas AI GPT para resolver sus problemas matemáticos mediante preguntas y respuestas en lenguaje natural.