Calculadora de Distribuição Hipergeométrica

Calculadora de Distribuição Hipergeométrica

A Calculadora de Distribuição Hipergeométrica calcula probabilidades exatas para cenários de amostragem sem reposição. Insira o tamanho da sua população (N), o número de itens de sucesso (K), o número de sorteios (n) e o número desejado de sucessos (k) para obter instantaneamente probabilidades pontuais e cumulativas com soluções combinatórias passo a passo e visualizações interativas.

O que é a Distribuição Hipergeométrica?

A distribuição hipergeométrica é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de sucessos em uma sequência de n sorteios de uma população finita de tamanho N contendo exatamente K itens de sucesso, sorteados sem reposição. Ao contrário da distribuição binomial — que assume que cada tentativa é independente — a distribuição hipergeométrica leva em conta o fato de que cada sorteio altera a composição da população restante.

A Fórmula PMF Hipergeométrica

A função massa de probabilidade (PMF) é:

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n)

Onde C(a, b) = a! / (b! × (a − b)!) é o coeficiente binomial ("a escolhe b"). O numerador conta as formas favoráveis de escolher k sucessos de K e (n − k) falhas de (N − K). O denominador conta todas as formas possíveis de retirar n itens de N.

Parâmetros Explicados

• N (Tamanho da População) — Número total de itens na população.
• K (Estados de Sucesso) — Número de itens classificados como "sucesso" na população.
• n (Número de Sorteios) — Quantos itens são retirados sem reposição.
• k (Sucessos Observados) — O número específico de sucessos para o qual você deseja encontrar a probabilidade.

Média, Variância e Desvio Padrão

Para uma variável aleatória hipergeométrica X:

• Média: μ = nK / N
• Variância: σ² = n × (K/N) × ((N−K)/N) × ((N−n)/(N−1))
• Desvio Padrão: σ = √σ²

O fator (N − n) / (N − 1) é chamado de fator de correção de população finita. Ele reduz a variância em comparação com a binomial, refletindo que a amostragem sem reposição é menos variável do que a amostragem com reposição.

Distribuição Hipergeométrica vs. Binomial

• Hipergeométrica: Amostragem sem reposição de uma população finita. Cada sorteio altera a probabilidade do sorteio seguinte.
• Binomial: Amostragem com reposição (ou de uma população infinita). Cada tentativa tem a mesma probabilidade.
• Quando a população é muito grande em relação à amostra (N ≫ n), a distribuição hipergeométrica se aproxima da binomial.

Aplicações Comuns

• Controle de Qualidade — Qual é a probabilidade de encontrar exatamente 3 itens defeituosos ao inspecionar 30 unidades de um lote de 500 contendo 20 defeituosos?
• Jogos de Cartas — Qual é a probabilidade de receber exatamente 2 copas em uma mão de pôquer de 5 cartas de um baralho padrão de 52 cartas?
• Análise de Loteria — Quais são as chances de acertar um certo número de números sorteados?
• Ecologia (Captura-Recaptura) — Estimativa de populações de vida selvagem marcando e recapturando animais.
• Testes Estatísticos — O teste exato de Fisher usa a distribuição hipergeométrica para testar a independência em tabelas de contingência 2×2.

Como Usar esta Calculadora

1. Insira o tamanho da população N (total de itens).
2. Insira o número de estados de sucesso K (deve ser ≤ N).
3. Insira o número de sorteios n (deve ser ≤ N).
4. Insira os sucessos observados k (deve ser viável para os parâmetros fornecidos).
5. Clique em "Calcular Probabilidade" para ver as probabilidades exatas e cumulativas, soluções passo a passo, um gráfico de barras PMF e uma visualização do modelo de urna.

Perguntas Frequentes

Para que é usada a distribuição hipergeométrica?

A distribuição hipergeométrica é usada sempre que você faz uma amostragem de uma população finita sem reposição e deseja saber a probabilidade de retirar um número específico de itens com uma característica particular. Os casos de uso comuns incluem inspeção de controle de qualidade, probabilidades de jogos de cartas, chances de loteria e estudos ecológicos de captura-recaptura.

Como a distribuição hipergeométrica é diferente da binomial?

A principal diferença é a reposição. A binomial assume tentativas independentes (com reposição), enquanto a hipergeométrica modela sorteios dependentes (sem reposição). Quando a população é muito maior que a amostra, as duas distribuições convergem.

Quais são os intervalos válidos para k?

Os sucessos observados k devem satisfazer: máx(0, n − (N − K)) ≤ k ≤ mín(n, K). O limite inferior garante que haja itens de falha suficientes para os sorteios restantes, e o limite superior garante que você não exceda os sucessos disponíveis ou o total de sorteios.

Posso usar isso para o teste exato de Fisher?

Sim. O teste exato de Fisher calcula as probabilidades usando a distribuição hipergeométrica. Se você tiver uma tabela de contingência 2×2, poderá usar esta calculadora para calcular a probabilidade de observar as contagens de células fornecidas sob a hipótese nula de independência.

O que é o fator de correção de população finita?

O fator (N − n) / (N − 1) na fórmula da variância contabiliza a amostragem sem reposição. Ele sempre reduz a variância em relação à binomial. Quando n é pequeno em relação a N, esse fator fica próximo de 1 e a correção é insignificante.