Calculadora da Regra de Simpson

Calculadora da Regra de Simpson

A Calculadora da Regra de Simpson é uma poderosa ferramenta de integração numérica que aproxima integrais definidas ajustando curvas parabólicas (regra de 1/3) ou curvas cúbicas (regra de 3/8) através de pontos de amostragem. Diferente da regra do trapézio que usa linhas retas entre os pontos, a regra de Simpson captura a curvatura da função, entregando uma precisão de O(h⁴) — tornando-a um dos métodos mais utilizados em cálculo, engenharia e computação científica.

Recursos Principais

Como usar a Calculadora da Regra de Simpson

1. Insira sua função — Digite uma expressão matemática f(x) como x^2, sin(x), exp(-x^2) ou qualquer combinação de funções suportadas.
2. Defina os limites de integração — Insira o limite inferior (a) e o limite superior (b), e escolha o número de subintervalos (n).
3. Escolha uma regra — Selecione a Regra de 1/3 de Simpson (requer n par, ajustado automaticamente se for ímpar) ou a Regra de 3/8 (requer n divisível por 3, ajustado automaticamente).
4. Clique em Calcular — A ferramenta computa a aproximação com uma solução passo a passo completa renderizada em MathJax.
5. Explore os resultados — Interaja com a visualização parabólica, revise as áreas de cada segmento, compare métodos e estude a análise de convergência.

Explicação da Regra de 1/3 de Simpson

A regra composta de 1/3 de Simpson divide [a, b] em n subintervalos iguais (n deve ser par) e ajusta uma parábola através de cada três pontos consecutivos:

$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

onde \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \). Os coeficientes seguem o padrão 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1. Cada par de subintervalos usa um polinômio quadrático que passa por três pontos, capturando a curvatura da função muito melhor do que a interpolação linear.

Explicação da Regra de 3/8 de Simpson

A regra de 3/8 usa interpolação cúbica sobre grupos de três subintervalos (n deve ser divisível por 3):

$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$

Os coeficientes seguem o padrão 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1. Embora ambas as regras alcancem precisão de O(h⁴), a regra de 3/8 é útil quando n não é par.

Comparação de Erro

Dobrar n reduz o erro da regra de Simpson em aproximadamente 16×, comparado a apenas 4× para a regra do trapézio. Isso faz com que a regra de Simpson convirja muito mais rápido para funções suaves.

Quando usar cada regra

• Regra de 1/3 de Simpson — Melhor para a maioria das aplicações. Use quando n for par (ou puder ser tornado par). É a mais precisa por avaliação de função entre as três fórmulas básicas de Newton-Cotes.
• Regra de 3/8 de Simpson — Use quando n for um múltiplo de 3, mas não par. Também é útil em fórmulas compostas ao combinar com a regra de 1/3 para lidar com contagens ímpares de subintervalos.
• Regra do Trapézio — Prefira quando os dados tiverem espaçamento irregular, n for ímpar e pequeno, ou a simplicidade importar mais que a precisão. Também é melhor para funções com descontinuidades em derivadas superiores.

Funções Suportadas

Esta calculadora suporta uma ampla gama de funções matemáticas:

• Polinômios: x^2, x^3 + 2x - 1, x^5 - 3x^3 + 2
• Trigonométricas: sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x)
• Exponenciais/Logarítmicas: exp(x), ln(x), log(x)
• Raízes: sqrt(x)
• Constantes: pi, e
• Combinações: sin(x)*exp(-x), x^2/(1+x^2), sqrt(1+x^3)

Perguntas Frequentes