矩陣秩計算機

歡迎使用矩陣秩計算機，這是一個全面的線性代數工具，可使用高斯消去法求出任何矩陣的秩。矩陣的秩是線性獨立的列向量或行向量的最大數量 —— 這是一個基本概念，決定了方程組是否有解、變換是否可逆以及數據如何壓縮。此計算機提供逐步列簡化、主元分析、零空間計算、視覺化熱圖以及透過秩-零化度定理進行的驗證。

什麼是矩陣的秩？

矩陣 A 的秩定義為：

等效地，秩是：

• A 的列階梯形矩陣中主元位置的數量
• A 的列空間（像）的維度
• A 的行空間的維度
• A 的非零奇異值的數量
• 最大非零子行列式（方陣子矩陣行列式）的階數

對於一個 m×n 矩陣，秩滿足 \(0 \leq \text{rank}(A) \leq \min(m, n)\)。

高斯消去法如何確定秩

高斯消去法（也稱為列簡化）使用三種基本列運算將矩陣轉換為列階梯形 (REF)：

1. 列交換： 交換兩列 (\(R_i \leftrightarrow R_j\))
2. 列縮放： 將某一列乘以非零純量 (\(R_i \leftarrow c \cdot R_i\))
3. 列相加： 將一列的倍數加到另一列 (\(R_i \leftarrow R_i + c \cdot R_j\))

在列階梯形中：

• 所有零列都在底部
• 每個非零列的首項（主元）都在其上方主元的右側
• 秩等於 REF 中非零列（主元）的數量

此計算機使用部分主元選擇 —— 選擇每列中絕對值最大的元素作為主元 —— 以提高數值穩定性。

秩-零化度定理

其中 n 是 A 的列數。零化度是零空間（核）的維度 —— 即 Ax = 0 所有解的集合。這個定理意味著每一列要麼是主元列（貢獻秩），要麼是自由列（貢獻零化度），且每一列必居其一。

秩與線性方程組

矩陣的秩直接決定了線性方程組 Ax = b 的可解性：

特殊情況與性質

滿秩

當 rank(A) = min(m, n) 時，矩陣為滿秩：

• 對於 n×n 方陣：滿秩意味著可逆 (det ≠ 0)，具有平凡零空間
• 對於高矩陣 (m > n)：滿列秩意味著單射（一對一）
• 對於寬矩陣 (m < n)：滿行秩意味著滿射（映上）

秩虧矩陣

如果 rank(A) < min(m, n)，則矩陣為秩虧（對於方陣則是奇異矩陣）。當行或列線性相關時會發生這種情況 —— 某些行可以表示為其他行的組合。

關鍵秩等式

• rank(A) = rank(A^T) —— 行秩等於列秩
• rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) —— 乘積秩上限
• rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) —— 次可加性
• rank(A^TA) = rank(AA^T) = rank(A)

不同領域中的矩陣秩

常見問題解答

什麼是矩陣的秩？

矩陣的秩是矩陣中線性獨立的列向量（或等效的行向量）的最大數量。它代表了列空間（或行空間）的維度。對於一個 m×n 矩陣，其秩最多為 min(m, n)。秩等於 min(m, n) 的矩陣稱為滿秩矩陣。

如何使用高斯消去法計算矩陣的秩？

高斯消去法透過執行基本列運算（交換列、將某一列乘以非零純量、將一列的倍數加到另一列）將矩陣轉換為列階梯形 (REF)。秩等於 REF 中非零列的數量（等效於主元位置的數量）。這是線性代數課程中教授的標準演算法方法。

什麼是秩-零化度定理？

秩-零化度定理指出，對於任何 m×n 矩陣 A，rank(A) + nullity(A) = n，其中 n 是列數。零化度是零空間（所有滿足 Ax = 0 的向量 x 的集合）的維度。這個基本定理聯繫了列空間和零空間的維度。

矩陣何時為滿秩？

當矩陣的秩等於 min(m, n)（即行數和列數中的較小者）時，該矩陣為滿秩。對於 n×n 方陣，滿秩意味著秩 = n，這表示該矩陣是可逆的（非奇異的），且行列式不為零。滿秩矩陣具有平凡零空間（僅包含零向量），且其各列線性獨立。

行秩和列秩有什麼區別？

線性代數中的一個基本定理證明，對於任何矩陣，行秩（行空間的維度）始終等於列秩（列空間的維度）。這個共同的值簡稱為矩陣的秩。高斯消去法透過計算主元列直接揭示行秩，但相同數值也代表列秩。

矩陣的秩與線性方程組有什麼關係？

對於方程組 Ax = b，秩決定了其可解性：如果 rank(A) = rank([A|b])，則方程組是一致的（有解）。如果此外 rank(A) = n（未知數的數量），則解是唯一的。如果 rank(A) < n，則有無限多個解，由 n - rank(A) 個自由變數參數化。Rouché-Capelli 定理正式定義了這些條件。

其他資源

• 矩陣的秩 - 維基百科
• 高斯消去法 - 維基百科
• 秩-零化度定理 - 維基百科