公因子計算機

公因子計算機

歡迎使用公因子計算機，這是一個全面的免費線上工具，可以查找兩個或多個數字之間共享的所有公因子。該計算機具有交互式維恩圖可視化、使用多種方法（質因數分解和歐幾里得演算法）的逐步解決方案，並自動計算最大公因數 (GCF)。無論您是正在學習整除性的學生，還是正在解釋因子關係的老師，亦或是任何從事數論工作的人，此工具都能提供清晰詳細的結果。

什麼是公因子？

公因子是指能夠同時整除兩個或多個數字而沒有餘數的數字。例如，12 和 18 的公因子是 1、2、3 和 6，因為這些數字中的每一個都能整除 12 和 18。最大的公因子被稱為最大公因數（GCF），也稱為最大公約數 (GCD) 或最高公因子 (HCF)。

通過示例理解公因子

考慮查找 24 和 36 的公因子：

• 24 的因子： 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• 36 的因子： 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
• 公因子： 1, 2, 3, 4, 6, 12（在兩個列表中都出現的數字）
• 最大公因數 (GCF)： 12

如何查找公因子

有幾種方法可以找到數字的公因子：

如何使用此計算機

1. 輸入您的數字： 在輸入框中輸入兩個或更多以逗號分隔的正整數。您最多可以輸入 10 個數字。
2. 計算公因子： 點擊「查找公因子」按鈕以計算所有公因子和最大公因數。
3. 查看維恩圖： 對於 2 或 3 個數字，查看交互式維恩圖，顯示哪些因子是每個數字特有的，哪些是共享的。
4. 研究因子列表： 查看每個數字的完整因子列表，其中高亮顯示了公因子。
5. 探索解決方法： 通過質因數分解和（針對 2 個數字）逐步的歐幾里得演算法了解結果是如何計算出來的。

理解維恩圖

交互式維恩圖提供了因子在數字之間關係的視覺呈現：

• 外部區域： 顯示每個數字特有的因子
• 重疊區域： 顯示數字之間共享的因子
• 中心區域： 顯示所有數字共有的因子

這種可視化效果可以幫助您一目了然地理解因子關係，對於教育目的特別有用。

此計算器的主要功能

• 多個數字： 一次查找 2 到 10 個數字的公因子
• 交互式維恩圖： 因子關係的視覺呈現（針對 2-3 個數字）
• GCF 計算： 自動查找最大公因數
• 逐步歐幾里得演算法： 顯示兩個數字的計算過程
• 質因數分解法： 顯示每個數字的質因數分解
• 完整因子列表： 顯示所有因子並高亮顯示公因子
• 支持大數字： 適用於高達 9990 億的數字
• 一鍵複製： 輕鬆將結果複製到剪貼板

什麼是最大公因數 (GCF)？

最大公因數 (GCF)，也稱為最大公約數 (GCD) 或最高公因子 (HCF)，是能整除兩個或多個數字而沒有餘數的最大正整數。GCF 有許多實際應用：

• 約分分數： 將分子和分母同時除以他們的 GCF
• 分解代數表達式： 查找係數的 GCF
• 解決應用題： 尋找等額分配的最大組大小
• 密碼學： 用於 RSA 加密演算法

使用質因數分解的 GCF 公式

例如，查找 GCF(48, 60)：

• 48 = 2⁴ × 3
• 60 = 2² × 3 × 5
• 共享質因數：2（最低指數：2）和 3（最低指數：1）
• GCF = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

歐幾里得演算法

歐幾里得演算法是查找兩個數字 GCF 的一種高效方法，由古希臘數學家歐幾里得在西元前 300 年左右發現。它的原理是兩個數字的 GCF 也能整除他們的差。

示例：使用歐幾里得演算法計算 GCF(48, 18)

• 步驟 1：48 = 18 × 2 + 12
• 步驟 2：18 = 12 × 1 + 6
• 步驟 3：12 = 6 × 2 + 0
• 結果：GCF = 6（最後一個非零餘數）

特殊情況

互質數（相對質數）

如果兩個數字的唯一公因子是 1（即 GCF = 1），則稱他們為互質數（或相對質數）。示例：

• 8 和 15 是互質數 (GCF = 1)
• 14 和 25 是互質數 (GCF = 1)
• 任意兩個連續整數都是互質數

一個數整除另一個數

當一個數能整除另一個數時，GCF 等於較小的那個數。例如：

• GCF(6, 18) = 6（因為 6 整除 18）
• GCF(5, 25) = 5（因為 5 整除 25）

實際應用

約分分數

要約分分數，請將分子和分母同時除以他們的 GCF。例如，約分 24/36：

• GCF(24, 36) = 12
• 24/36 = (24 ÷ 12) / (36 ÷ 12) = 2/3

應用題

花店老闆有 24 朵玫瑰和 36 朵郁金香。她想用所有的花製作完全相同的花束。花束的最大數量是多少？

• GCF(24, 36) = 12
• 她可以製作 12 束花，每束包含 2 朵玫瑰和 3 朵郁金香

常見問題解答

什麼是公因子？

公因子是指能夠同時整除兩個或多個數字而沒有餘數的數字。例如，12 和 18 的公因子是 1、2、3 和 6，因為這些數字中的每一個都能整除 12 和 18。最大的公因子被稱為最大公因數（GCF）。

如何找到兩個數字的公因子？

要找到公因子：1) 列出第一個數字的所有因子，2) 列出第二個數字的所有因子，3) 識別哪些因子在兩個列表中都出現。例如，24 的因子是 1、2、3、4、6、8、12、24，36 的因子是 1、2、3、4、6、9、12、18、36。公因子是 1、2、3、4、6、12。

什麼是最大公因數 (GCF)？

最大公因數 (GCF)，也稱為最大公約數 (GCD) 或最高公因子 (HCF)，是能夠整除兩個或多個數字的最大數字。例如，24 和 36 的 GCF 是 12，因為 12 是能同時整除 24 和 36 而沒有餘數的最大數字。

如何使用質因數分解來查找公因子？

使用質因數分解查找公因子：1) 將每個數字分解為質因數，2) 識別在所有數字中都出現的質因數，3) 公因子是這些共享質因數的所有可能乘積。對於 GCF，將共享的質因數以其在各數字中出現的最低指數相乘。

什麼是用於查找 GCF 的歐幾里得演算法？

歐幾里得演算法是查找兩個數字 GCF 的一種高效方法。用較大的數除以較小的數，然後用較小的數替換較大的數，用餘數替換較小的數。重複此過程直到餘數為 0。最後一個非零餘數即為 GCF。例如，GCF(48, 18)：48 = 18 × 2 + 12，然後 18 = 12 × 1 + 6，接著 12 = 6 × 2 + 0。所以 GCF = 6。

如果兩個數字的 GCF = 1 意味著什麼？

當兩個數字的 GCF = 1 時，他們被稱為互質數或相對質數。這意味著除了 1 之外，他們沒有其他公因子。例如 8 和 15、14 和 25 以及任意兩個連續整數。

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