角平分線計算機
輸入三邊或頂點座標，算出三角形角平分線長度與對邊分點位置。同時給出內心、內切圓半徑與圖示。
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角平分線計算機
角平分線計算機可計算任何三角形的角平分線。輸入三條邊的長度或三個頂點座標，計算機即可求出所有三條角平分線的長度、每條平分線與對邊的交點、內心、內切圓半徑，並顯示互動式圖表。所有計算過程均包含逐步 MathJax 公式。
角平分線
從頂點到對邊的線段，將角平分為兩個相等的角。
內心
所有三條角平分線的交點，是內切圓的圓心。
內切圓半徑
內切圓的半徑，等於面積除以半周長：r = K/s。
角平分線定理
頂點 A 的平分線將邊 BC 分成的比例為 AB:AC = c:b（與鄰邊成比例）。
角平分線公式
| 屬性 | 公式 | 說明 |
|---|---|---|
| 角平分線長度（自 A） | \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) | 從頂點 A 到邊 BC 的角平分線長度 |
| 替代公式 | \( t_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 - a^2]}}{b+c} \) | 僅使用邊長，無需三角函數 |
| 角平分線定理 | \( \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} = \frac{AB}{AC} \) | 角平分線對邊的分段比例 |
| 分線段 | \( BD = \frac{ac}{b+c} \) | 從頂點 B 到邊 BC 上分點 D 的長度 |
| 內心 | \( I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c} \) | 使用對邊長度作為權重的頂點加權平均值 |
| 內切圓半徑 | \( r = \frac{K}{s} \) | 面積 K 除以半周長 s |
如何使用此計算機
- 選擇輸入模式：如果你已知 a、b、c，請選擇「三邊長」；如果你有座標，請選擇「三頂點」。
- 輸入數值：輸入三個邊長或每個頂點的 (x, y) 座標。使用快速範例按鈕嘗試預設的三角形。
- 點擊計算：按下「計算角平分線」按鈕查看結果。
- 探索圖表：切換圖層（角平分線、分點、內切圓、角度弧線、標籤）以專注於特定屬性。
- 查看公式：向下滾動到逐步解題過程，查看代入數值後的每個公式。
理解角平分線定理
角平分線定理是三角形幾何中的基本結果之一。它指出，如果一條射線平分三角形的一個角，那麼它將對邊分成兩條線段，這兩條線段的比等於另外兩條邊的比。具體來說，如果來自頂點 A 的平分線與邊 BC 交於點 D，則 BD/DC = AB/AC = c/b。
此定理有許多實際應用：它用於三角形作圖、證明內切圓的性質以及座標幾何問題。角平分線長度公式 \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) 可以透過對平分線創建的兩個子三角形應用餘弦定理來推導出來。
角平分線的性質
- 每個三角形正好有三條內角平分線。
- 所有三條角平分線總是交於一個點，稱為內心。
- 內心總是位於三角形內部，無論三角形是什麼類型。
- 內心到三條邊的距離相等，該距離即為內切圓半徑。
- 在等邊三角形中，每條角平分線同時也是中線、高和垂直平分線。
- 最長的角平分線總是來自角度最小的頂點。
- 角平分線長度始終小於或等於兩相鄰邊的幾何平均數。
常見問題
什麼是三角形的角平分線？
角平分線是從頂點到對邊的線段，它將頂點角平分為兩個相等的角。每個三角形都有三條角平分線，它們都交於一個點，稱為內心，即內切圓的圓心。
如何計算角平分線的長度？
從頂點 A 到邊 BC 的角平分線長度公式為：ta = (2bc × cos(A/2)) / (b + c)，其中 b 和 c 是角 A 的鄰邊。另一種僅使用邊長的公式為：ta = √(bc[(b+c)² − a²]) / (b + c)。
什麼是角平分線定理？
角平分線定理指出，三角形的角平分線將對邊分成兩條線段，其長度與相鄰邊成比例。對於從 A 到邊 BC 上點 D 的平分線：BD/DC = AB/AC = c/b。這是許多幾何證明和作圖中使用的基本定理。
三角形的三條角平分線交於何處？
三角形的三條角平分線總是交於一個點，稱為內心，記作 I。內心是內切圓的圓心，且始終位於三角形內部，無論三角形是銳角、直角還是鈍角。
角平分線和垂直平分線有什麼區別？
角平分線將一個角分成兩個相等的部分，並從頂點延伸到對邊。垂直平分線以 90° 角將一條邊分成兩個相等的部分。三條角平分線相交於內心（內切圓圓心），而三條垂直平分線相交於外心（外接圓圓心）。
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由 MiniWebtool 團隊製作。更新日期：2026-04-03
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