矩陣跡計算機

歡迎使用矩陣跡計算機，這是一個用於計算任何方陣跡（主對角線上元素之和）的互動式工具。跡雖然看似簡單，卻極其重要：它等於特徵值的總和，在相似轉換下保持不變，並且廣泛應用於從量子力學到機器學習的各個領域。本計算機提供逐步計算、特徵值驗證、矩陣冪的跡、性質檢測以及突顯對角線的熱圖可視化。

什麼是矩陣的跡？

n×n 矩陣 A 的跡（Trace），記作 tr(A)，定義為對角線項的總和：

只有方陣（行數和列數相同）才有跡。它是矩陣中兩個最基本的純量函數之一，另一個是行列式。

跡與特徵值

跡最顯著的性質之一是它與特徵值的聯繫：

即使特徵值是複數，這一性質也成立 —— 對於實矩陣，虛部總是會互相抵消，保證跡為實數。這一恆等式源於跡和特徵值之和均等於特徵多項式 \(\det(A - xI)\) 中 \(x^{n-1}\) 項係數的負值。

跡的主要性質

線性

跡是矩陣空間上的一個線性泛函：

• \(\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)\)
• 對於任何純量 c，\(\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)\)

循環性質

跡在矩陣乘積的循環置換下保持不變：

注意：這並不意味著通常情況下 tr(ABC) = tr(BAC)。僅允許進行「循環」置換。

相似不變性

如果對於某個可逆矩陣 P，有 B = P^-1AP，則 tr(B) = tr(A)。這使得跡成為一個相似不變量，意味著它不依賴於基底的選擇。

轉置不變性

tr(A) = tr(A^T)，因為轉置矩陣不會改變對角線上的項。

與 Frobenius 範數的聯繫

跡的應用

特殊類型的矩陣及其跡

矩陣冪的跡與牛頓恆等式

矩陣冪的跡，tr(A), tr(A²), tr(A³), ...，包含了關於特徵值譜的完整資訊。透過牛頓恆等式（Newton’s identities），這些冪跡可以重構出整個特徵多項式：

這意味著跡序列 {tr(A), tr(A²), ..., tr(Aⁿ)} 完全決定了 A 的特徵值。

常見問題解答

什麼是矩陣的跡？

方陣 A 的跡，記作 tr(A)，是主對角線上元素的總和：tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn。它僅針對方陣 (n×n) 定義。跡是線性代數中最基本的矩陣不變量之一。

跡與特徵值有什麼關係？

矩陣的跡等於其所有特徵值的總和（按代數重數計算）：tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λ_n。這是因為跡與特徵值之和均為特徵多項式中 x^n-1 項係數的負值。

跡的主要性質有哪些？

主要性質：(1) 線性：tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B)。(2) 轉置不變性：tr(A) = tr(A^T)。(3) 循環性質：tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB)。(4) 相似不變性：tr(P^-1AP) = tr(A)。(5) tr(A^TA) = 所有元素平方和 = ‖A‖²_F（Frobenius 範數平方）。

為什麼跡在線性代數中很重要？

跡是一個相似不變量 —— 它不會隨基底的變換而改變。跡與行列式共同表徵了線性轉換的行為。在物理學中，跡出現在量子力學（期望值）、廣義相對論（里奇純量）和統計力學（配分函數）中。在機器學習中，它被用於正則化和內核方法。

什麼是零跡矩陣？

零跡矩陣是指 tr(A) = 0 的矩陣，即其對角線元素之和為零。零跡矩陣構成李代數 sl(n)，這在理論物理和微分幾何中起著核心作用。每個矩陣都可以分解為 A = (tr(A)/n)I + B，其中 B 是零跡矩陣。

如何計算矩陣的跡？

計算跡的方法：(1) 識別主對角線元素 a₁₁, a₂₂, ..., a_nn —— 這些是行索引等於列索引的項。(2) 將它們相加：tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn。例如，對於 [[1,2],[3,4]]，跡為 1 + 4 = 5。

其他資源

• 跡 (線性代數) - 維基百科
• 特徵值演算法 - 維基百科
• 特徵多項式 - 維基百科