สัมประสิทธิ์อนุกรมฟูเรียร์คืออะไร?

สัมประสิทธิ์อนุกรมฟูเรียร์ (a₀, aₙ, bₙ) คือค่าคงที่ในการขยายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันคาบ สิ่งเหล่านี้จะเป็นตัวกำหนดว่าฮาร์มอนิกโคไซน์และไซน์แต่ละตัวมีส่วนช่วยในการสร้างฟังก์ชันเดิมขึ้นมาใหม่มากน้อยเพียงใด โดยที่ a₀/2 คือค่าเฉลี่ย (DC), aₙ คูณกับ cos(nωx) และ bₙ คูณกับ sin(nωx)

สัมประสิทธิ์ฟูเรียร์คำนวณอย่างไร?

สัมประสิทธิ์ฟูเรียร์คำนวณโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตในช่วงหนึ่งคาบ T ของฟังก์ชัน: a₀ = (2/T)∫f(x)dx, aₙ = (2/T)∫f(x)cos(2nπx/T)dx และ bₙ = (2/T)∫f(x)sin(2nπx/T)dx เครื่องคำนวณนี้ทำการอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์โดยใช้พีชคณิตคอมพิวเตอร์เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำ

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคู่หรือฟังก์ชันคี่?

ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันคู่ (f(-x) = f(x)) สัมประสิทธิ์ bₙ ทั้งหมดจะเป็นศูนย์ และอนุกรมฟูเรียร์จะมีเฉพาะพจน์โคไซน์ ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันคี่ (f(-x) = -f(x)) สัมประสิทธิ์ aₙ ทั้งหมด (รวมถึง a₀) จะเป็นศูนย์ และอนุกรมจะมีเฉพาะพจน์ไซน์ เครื่องคำนวณนี้จะตรวจจับสมมาตรโดยอัตโนมัติ

ฉันสามารถป้อนฟังก์ชันใดได้บ้าง?

คุณสามารถป้อนฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์มาตรฐานใดๆ ของ x ได้: พหุนาม (x^2, x^3), ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin(x), cos(x), tan(x)), ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (e^x, exp(-x)), ค่าสัมบูรณ์ (abs(x) หรือ |x|), ลอการิทึม (ln(x), log(x)) และการผสมผสานของฟังก์ชันเหล่านี้ ใช้ * สำหรับการคูณ และ ^ หรือ ** สำหรับเลขยกกำลัง

ทำไมการประมาณค่าฟูเรียร์ถึงมีค่าเกินที่จุดไม่ต่อเนื่อง?

นี่คือปรากฏการณ์กิบบ์ส (Gibbs phenomenon): ที่จุดไม่ต่อเนื่องแบบก้าวกระโดด ผลรวมย่อยของฟูเรียร์จะมีค่าเกินจากขนาดของการกระโดดประมาณ 9% เสมอ ไม่ว่าคุณจะรวมพจน์เข้าไปมากแค่ไหนก็ตาม ค่าที่เกินจะแคบลงแต่จะไม่หายไปเมื่อคุณเพิ่มพจน์มากขึ้น นี่เป็นคุณสมบัติพื้นฐานของการลู่เข้าของอนุกรมฟูเรียร์

เครื่องคำนวณสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูเรียร์

คำนวณสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูเรียร์ a₀, aₙ และ bₙ สำหรับฟังก์ชันคาบใดๆ ดูการคำนวณอินทิกรัลฉบับเต็ม ตารางสัมประสิทธิ์ สูตรผลรวมย่อย และกราฟแบบโต้ตอบที่เปรียบเทียบฟังก์ชันต้นฉบับกับค่าประมาณฟูเรียร์

⚡ ตัวอย่างด่วน

ฟังก์ชัน f(x) ใช้ ^ สำหรับเลขยกกำลัง, * สำหรับการคูณ รองรับ: sin, cos, tan, exp, ln, abs, pi, e

จุดเริ่มคาบ

จุดสิ้นสุดคาบ

จำนวนพจน์ฟูเรียร์ (n)

Embed เครื่องคำนวณสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูเรียร์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณสัมประสิทธิ์อนุกรมฟูเรียร์

อนุกรมฟูเรียร์คืออะไร?

อนุกรมฟูเรียร์ (Fourier series) คือการแยกฟังก์ชันคาบใดๆ ออกเป็นผลรวมของไซน์และโคไซน์ (ฮาร์มอนิก) สำหรับฟังก์ชัน $ f(x) $ ที่มีคาบ $ T $ รูปแบบอนุกรมฟูเรียร์คือ:

$$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\!\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) + b_n \sin\!\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) \right] $$

การแยกองค์ประกอบที่มีประสิทธิภาพนี้เป็นพื้นฐานในการประมวลผลสัญญาณ, ฟิสิกส์, วิศวกรรม และคณิตศาสตร์ ซึ่งจะช่วยเผยให้เห็นเนื้อหาความถี่ที่ซ่อนอยู่ในสัญญาณคาบใดๆ

สัมประสิทธิ์คำนวณอย่างไร?

สัมประสิทธิ์ฟูเรียร์หาได้จากการอินทิเกรตผลคูณของ $ f(x) $ กับฟังก์ชันฐานแต่ละตัวในช่วงหนึ่งคาบสมบูรณ์:

$$ a_0 = \frac{2}{T} \int_{L}^{L+T} f(x)\, dx $$

$$ a_n = \frac{2}{T} \int_{L}^{L+T} f(x) \cos\!\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx $$

$$ b_n = \frac{2}{T} \int_{L}^{L+T} f(x) \sin\!\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) dx $$

สัมประสิทธิ์ $ a_0/2 $ หมายถึงค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันในช่วงหนึ่งคาบ ส่วน $ a_n $ แต่ละตัวจะวัดว่าฟังก์ชันมีความสัมพันธ์กับคลื่นโคไซน์ที่ความถี่ $ n $ มากน้อยเพียงใด ในขณะที่ $ b_n $ จะวัดความสัมพันธ์กับคลื่นไซน์ที่ความถี่ $ n $

สมมาตรของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่

สมมาตรของฟังก์ชันสามารถช่วยให้การคำนวณฟูเรียร์ง่ายขึ้นอย่างมาก:

ฟังก์ชันคู่ ($ f(-x) = f(x) $): ค่า $ b_n = 0 $ ทั้งหมด อนุกรมฟูเรียร์จะมีเฉพาะพจน์โคไซน์ ตัวอย่าง: $ x^2 $, $ |x| $, $ \cos(x) $
ฟังก์ชันคี่ ($ f(-x) = -f(x) $): ค่า $ a_n = 0 $ ทั้งหมด (รวมถึง $ a_0 $) อนุกรมจะมีเฉพาะพจน์ไซน์ ตัวอย่าง: $ x $, $ x^3 $, $ \sin(x) $
ไม่ใช่ทั้งคู่และคี่: จำเป็นต้องใช้ทั้งพจน์โคไซน์และไซน์ ตัวอย่าง: $ e^x $

ปรากฏการณ์กิบบ์ส (The Gibbs Phenomenon)

ที่จุดที่ไม่ต่อเนื่อง ผลรวมย่อยของฟูเรียร์จะแสดง การแกว่งเกิน (oscillatory overshoots) ซึ่งจะลู่เข้าหาค่าประมาณ 9% ของความสูงของการกระโดด ไม่ว่าจะใช้จำนวนพจน์มากเท่าใดก็ตาม สิ่งนี้เรียกว่าปรากฏการณ์กิบบ์ส ค่าที่เกินจะแคบลงเมื่อเพิ่มพจน์มากขึ้น แต่จุดยอดที่เกินจะไม่ลดลง สิ่งนี้จะเห็นได้ชัดในกราฟเมื่อประมาณค่าฟังก์ชันอย่างคลื่นสี่เหลี่ยมหรือคลื่นฟันเลื่อย

การประยุกต์ใช้อนุกรมฟูเรียร์

การประมวลผลสัญญาณ: การแยกสัญญาณเสียง, วิทยุ และสัญญาณไฟฟ้าออกเป็นส่วนประกอบความถี่เพื่อการกรองและการวิเคราะห์
การนำความร้อน: การแก้สมการความร้อนโดยใช้การแยกตัวแปร ซึ่งอนุกรมฟูเรียร์ใช้แทนการกระจายอุณหภูมิ
การวิเคราะห์การสั่นสะเทือน: การวิเคราะห์การแกว่งทางกลและการกำทอนในโครงสร้างและวัสดุ
การบีบอัดภาพ: JPEG และรูปแบบอื่นๆ ใช้การแปลงโคไซน์ไม่ต่อเนื่อง (Discrete Cosine Transform - DCT) ที่มีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด
กลศาสตร์ควอนตัม: ฟังก์ชันคลื่นจะถูกขยายในฐานเชิงตั้งฉาก (อนุกรมฟูเรียร์แบบนัยทั่วไป)
วิศวกรรมไฟฟ้า: การวิเคราะห์วงจร AC และระบบไฟฟ้าที่มีรูปคลื่นเป็นคาบ

การลู่เข้าของอนุกรมฟูเรียร์

คุณสมบัติการลู่เข้าของอนุกรมฟูเรียร์ถูกควบคุมโดยทฤษฎีบทที่สำคัญหลายประการ:

เงื่อนไขของดิริชเลต์ (Dirichlet Conditions): ถ้า $ f(x) $ มีความต่อเนื่องเป็นช่วงๆ, มีขอบเขต และมีจำนวนจุดสูงสุดต่ำสุดและจุดไม่ต่อเนื่องที่จำกัดในแต่ละคาบ อนุกรมฟูเรียร์จะลู่เข้าหา $ f(x) $ ที่จุดต่อเนื่อง และลู่เข้าหา $ \frac{1}{2}[f(x^+) + f(x^-)] $ ที่จุดไม่ต่อเนื่อง
ทฤษฎีบทของพาร์เซวาล (Parseval's Theorem): พลังงานรวมของสัญญาณจะถูกอนุรักษ์ไว้: $ \frac{1}{T}\int_0^T |f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2 + b_n^2) $
อสมการของเบสเซล (Bessel's Inequality): ผลรวมของสัมประสิทธิ์ยกกำลังสองจะมีขอบเขตจำกัดโดยพลังงานของฟังก์ชัน ซึ่งช่วยรับประกันการลู่เข้า

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

ป้อน f(x): พิมพ์ฟังก์ชันของคุณโดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน ใช้ ^ สำหรับกำลัง, * สำหรับการคูณ และฟังก์ชันในตัว เช่น sin, cos, exp, abs, ln
กำหนดคาบ: ป้อนจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของหนึ่งคาบที่สมบูรณ์ สำหรับฟังก์ชันคาบ $ 2\pi $ มาตรฐาน ให้ใช้ -pi ถึง pi
เลือก N: เลือกจำนวนพจน์ฟูเรียร์ที่จะคำนวณ (1–20) พจน์ที่มากขึ้นจะให้การประมาณค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้น
วิเคราะห์ผลลัพธ์: ตรวจสอบตารางสัมประสิทธิ์, การอินทิเกรตทีละขั้นตอน, สูตรผลรวมย่อย, กราฟเปรียบเทียบ และสเปกตรัมแอมพลิจูด